(完整word版)2016年浙江省高考数学试卷(理科)及解析

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可．

【解答】解：由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的， 则其表面积为22×（24﹣6）=72cm2， 其体积为4×23=32， 故答案为：72，32

【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力． 12．（6分）

【考点】对数的运算性质．

【分析】设t=logba并由条件求出t的范围，代入logab+logba=化简后求出t的值，得到a与b的关系式代入ab=ba化简后列出方程，求出a、b的值． 【解答】解：设t=logba，由a＞b＞1知t＞1， 代入logab+logba=得

，

即2t2﹣5t+2=0，解得t=2或t=（舍去），

所以logba=2，即a=b2，

因为ab=ba，所以b2b=ba，则a=2b=b2， 解得b=2，a=4， 故答案为：4；2．

【点评】本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于基础题． 13．（6分）

【考点】数列的概念及简单表示法． 【分析】运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1时，an+1=Sn+1﹣Sn，结合条件，计算即可得到所求和．

【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1， 又S2=4，即a1+a2=4，

即有3a1+1=4，解得a1=1； 由an+1=Sn+1﹣Sn，可得 Sn+1=3Sn+1，

由S2=4，可得S3=3×4+1=13， S4=3×13+1=40， S5=3×40+1=121． 故答案为：1，121．

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【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1，n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1，考查运算能力，属于中档题． 14．（4分）

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】由题意，△ABD≌△PBD，可以理解为△PBD是由△ABD绕着BD旋转得到的，对于每段固定的AD，底面积BCD为定值，要使得体积最大，△PBD必定垂直于平面ABC，此时高最大，体积也最大．

【解答】解：如图，M是AC的中点．

①当AD=t＜AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图

中AE，DM=

﹣t，由△ADE∽△BDM，可得

，∴h=

，

V=

②当AD=t＞AM=

=，t∈（0，）

时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图

中AH，DM=t﹣∴h=

，由等面积，可得

，

，∴

，

∴V==，t∈（，2）

综上所述，V=，t∈（0，2）

令m=

故答案为：．

∈[1，2），则V=

，∴m=1时，Vmax=．

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【点评】本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大． 15．（4分）

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．

【解答】解：∵|（+）?|=|?+?|≤|?|+|?|≤∴|（+）?|≤|+|≤

，

，

平方得：||2+||2+2?≤6， 即12+22+2?≤6， 则?≤，

故?的最大值是， 故答案为：．

【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（14分）

【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B

（Ⅱ）若△ABC的面积S=，则bcsinA=，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A

的大小． 【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB， ∴sinB+sinC=2sinAcosB，

∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB

∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB

∴sinB=2=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B） ∵A，B是三角形中的角， ∴B=A﹣B， ∴A=2B；

（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=∴

bcsinA=

，

，

∴2bcsinA=a2，

∴2sinBsinC=sinA=sin2B， ∴sinC=cosB，

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∴B+C=90°，或C=B+90°， ∴A=90°或A=45°． 【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题． 17．（15分）

【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（I）先证明BF⊥AC，再证明BF⊥CK，进而得到BF⊥平面ACFD．

（II）方法一：先找二面角B﹣AD﹣F的平面角，再在Rt△BQF中计算，即可得出； 方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK与平面ABK的法向量，进而可得二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值． 【解答】（I）证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示，∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，

∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC． 又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK， ∴BF⊥平面ACFD．

（II）方法一：过点F作FQ⊥AK，连接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，

∴BQ⊥AK．∴∠BQF是二面角B﹣AD﹣F的平面角．

在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，可得FQ=在Rt△BQF中，BF=

，FQ=

．

．

．可得：cos∠BQF=

．

∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值为

方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于点K，则△BCK为等边三角形， 取BC的中点，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC，

以点O为原点，分别以OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz． 可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0，

．

=（0，3，0），

=

，

（2，3，0）．

，

），A（﹣1，﹣3，0），

，

设平面ACK的法向量为=（x1，y1，z1），平面ABK的法向量为=（x2，y2，z2），由

可得，

取=．

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