单轴倒立摆控制器设计

湖南科技大学本科生毕业设计（论文）

设θ=π+Φ（Φ是摆杆与垂直方向的夹角），假设Φ与l相比很小，即Φ做近似处理，

小车上所加的力F就有表达式：

2???sin??ml(co?F?(M?m)?xs??????) （2.8）

（2.2）（2.3）式线性化之后的方程可表示为

（2.9）

??若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（?10???10）的细微变化，则可

以近似认为：

222..?(J?ml)F?mlg?????0x??2J(M?m)?Mml?? ?sin??? 可推出 ?..???(M?m)mlg??mlF?cos??12??J(M?m)?Mml?2 （2.10）

2.2 传递函数

方程组（2.9）进行拉普拉斯变换，得到

（2.11）

注意：推导传递函数中初始状态假设为0

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由于输出角度为Φ，解方程组（2.11）得出

（2.12）

把上式（2.12）代入方程组（2.11），可以得到

整理得出传递函数：

（2.13）

其中，

2.3 状态空间方程

不妨设系统的状态方程为：

.

X?AX?Bu

y?CX?Du （2.14）

综合公式（2.7）（2.10）（2.11）可得

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.. x?x

.（J?mL)F?mL(J?mL)sin??-mLgsin?cos? x?2222（J?mL)(m?M)?mLcos?..22222

??? （2.15）

... ?=

..mLcos?F?mLsin?cos???(M?m)mLgsin?mlcos??(M?m)(J?ml)2222222

令u=F整理后得到系统的状态方程：

0?.??x?..??0?x?? ?.????0???..????0????1000-022mgLJ(M?m)?MmL0mgL(M?m)J(M?m)?MmL220?0?2x???.?(J?mL)0????xJ(M?m)?MmL?????1?????0.?mL??0?????????J(M?m)?MmL22???（2.16） ?u ????

将公式（2.8）杆的转动惯量代入到（2.13） 中 ，求得

?x??.?0?x??????0???.?????x??1y?????????00001?0???u （2.17） ?0?

因为之前我们有取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度l =1m,重力加速度取g=10m/s,所以可以得

一阶倒立摆简化模型：

?..?x?0.44F?3.33??..????0.4F?12??2 拉氏变换

?0.4??(s)?2?F(s)s?12??2x(s)?1.1s?10??2?s??(s)

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所以，

G1(s)=

2.4 本章小结

; G2(s)= （2.18）

在本章中，首先着手于分析小车倒立摆的物理模型，小车系统以及刚体摆杆的受力情况，列出一系列物理受力方程，然后整理出状态方程模型，完成数学建模。

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