高等数学A（二）2009-2010(A)

-------------------------------------------------------------------------------------- 上 海 海 事 大 学 试 卷

2009 — 2010 学年第二学期期末考试

《 高等数学A（二）》（A卷） （本次考试不能使用计算器）

班级 学号 姓名 总分 题 目 得 分 阅卷人 一 二 三（1） 三（2） 三（3） 三（4） 三（5） 三（6） 三（7） 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)

1、设f(x,y)?x3y?xy2?2x?3y?1，则fy'(3,2)=（ ） (A) 41 (B) 40

(C) 42 (D) 39

2、设圆域D：x2+y2≤1,f是域D上的连续函数，则

装订 线------------------------------------------------------------------------------------

答 ( )

?an?11?,则幂级数?anx3n 3、如果limn??a8n?0n(A)当x?2时,收敛； (B) 当x?8时,收敛；

1时,发散； 81(D) 当x?时,发散；

2(C) 当x? 答( )

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4、设Ω为球体x2+y2+z2≤1,f(x,y,z)在Ω上连续，I=(A) 4 (C) 2

x2yzf(x,y2,z3)dv (D) 0 x2yzf(x,y2z3)dv (B) 4

x2yzf(x,y2,z3),则I=

x2yzf(x,y2,z3)dv

答 ( )

5、设L是圆周 x2+y2=a2 (a>0)负向一周，则曲线积分

（ ）

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)

?2221、设f(x,y,z)?ln(x?y?z)，则gradf(1,?1,2)?

2、xyz?x2?y2?z2?2,在(1,0,?1)处全微分dz? 3、设L为圆周x2?y2?1，则xds?

?2L4、如果幂级数?anxn在x= -2处条件收敛，则收敛半径为R= 5、曲面z?ez?2xy?3在（1，2，0）处切平面方程为

三 计算题（必须有解题过程） （本大题分7小题，共 60分） 1、（本小题8分）

?2u?2u已知u?ln(x?1)?(y?1)，试求：2?2

?x?y22?解：ux?uxx?x?1(x?1)2?(y?1)212(x?1)?(x?1)2?(y?1)2[(x?1)2?(y?1)2]22 4分

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uy?y?1 22(x?1)?(y?1)

u?12(y?1)2yy(x?1)2?(y?1)2?[(x?1)2?(y?1)2]2 7分

uxx?uyy?0。

（8分）

2、（本小题8分）

求函数z?x3?y3?3x2?3y2的极值。

解：由???z2x?3x?6x?0?，得驻点(0,0),(0,?zy?3y2?6y?02),(2,0),(2,2) 3分 D?z2xxzyy?zxy?36(x?1)(y?1) 5分 D(0,0)?36?0,zxx??6?0,D(2,0)??36?0,D(0,2)??36?0D(2,2)?36?0,zxx(2,2)?6?0

点(0,2),(2,0)非极值点；函数z在点(0,0)处取极大值z(0,0)?0； 7分 在点(2,2)处取极小值z(2,2)??8。?44 8分

3、（本题12分，每题6分）

判别下列级数的敛散性，若是任意项级数要说明绝对收敛还是条件收敛。?（1）

?(n2n?1n?12n?1) （1）解：u(n2n?n?2n?1)1,

2n?1???limnnn??un?lim(n?1n??2n?1)4?1,?原级数收敛 ……6分

2n?1n或0?u?1?n???2??2???1??4??，所以原级数收敛。

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。

（2）

?(?1)n?1n?1?n 4nn?14n1??1， 3分 （2）解：?limn?1?n??4n4?un?1?n收敛，所以原级数绝对收敛。 6分

4、（每小题8分）

在?0,??内把函数f?x????x展开成以2?为周期的正弦级数。 解：在???,0?内对f?x?做奇延拓，延拓后所得函数的Fourier系数 1分

an?0,bn?n?0,1,2,??? 3分

2????x?sinnxdx?0????2?22?,??xcosnx?cosnxdx???0n0n?n?n?1,2,3,???

6分

由f?x?在?0,??内连续，单调，故在?0,??内

f?x????x?2?sinnx 8分 nn?1?

5、（本小题8分）

2222计算??xdydz?ydxdz?xydxdy，?为曲面z?x?y和z?1所围立体表面外侧。

? 解：原式= =

???(2x?2y?0)dv 4分

??2?0d??rdr?2(2rcos??2rsin?)dz 6分

0r11 =0 8分

6、（本小题8分）

已知fn(x)满足fn?(x)?fn(x)?xn?1ex,n为正整数，且fn(1)?e n第 4 页 共 5 页

求：?fn(x)

n?1??6、（本题8分）

xn?C)， 3分 解：fn(x)?e(nxexnex由fn(1)?，得C=0，所以 fn(x)= 4分

nn

?n?1??xnfn(x)?e??exln(1?x)， 7分

n?1nx??收敛域??1,1?。 8分

7、(本小题8分)

已知f(x)连续，且满足f(x)?sinx?解：f?(x)?cosx?

?x0(x?t)f(t)dt，求f(x)。

?x0f(t)dt,f??(x)??sinx?f(x), f??(x)?f(x)??sinx 4分

1xcosx，且f(0)?0,f?(0)?1 7分 2111得C1?0,C2?，所以f(x)?sinx?xcosx 8分

222解得：f(x)?C1cosx?C2sinx?一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)

1、(C) 2、(A). 3、( A ) 4、 D 5、（A） 二、填空题(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) 1、?,?1?12?,?

?333?2、dx?2dy 3、? 4、2

5、2x?y?6?0

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