2017-2018学年北京市西城区高二(下)期末数学试卷(理科)

则数据a，b，c的方差s2=

=

22

≥ [（a﹣b）+（b﹣c）+（a﹣c）

2

]，

设a=b+m，c=b+n，

则s2≥ [m2+n2+（m+n）2]，

取b=85，当m+n=0，﹣1，1时，s2有可能取得最小值，m=﹣16，n=15时，s2取得最小值

=

．

取b=84，当m+n=0，﹣1，1时，s2有可能取得最小值，m=﹣15，n=16时，s2取得最小值

=

．

∴a+b+c=79+85+90=254，或a+b+c=79+84+90=253． 故选：B．

8．已知函数f（x）=ex+ax﹣2，其中a∈R，若对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，都有x2?f（x1）﹣x1?f（x2）＜a（x1﹣x2）成立，则a的取值范围是（ ） A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．D．（﹣∞，1] （﹣∞，2] 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】将不等式变形为：

＜

恒成立，构造函数h（x）=

，

转会为当x1＜x2时，h（x1）＜h（x2）恒成立，为了求a的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围．

【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，都有x2?f（x1）﹣x1?f（x2）＜a（x1﹣x2）成立， ∴不等式等价为

＜

成立，

令h（x）=

，则不等式等价为当x1＜x2时，h（x1）＜h（x2）恒成立，

即函数h（x）在（0，+∞）上为增函数； h（x）=

，

则h′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立；

∴xex﹣ex+2﹣a≥0；即a﹣2≤xex﹣ex恒成立， 令g（x）=xex﹣ex，∴g′（x）=xex＞0； ∴g（x）在（0，+∞）上为增函数；

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∴g（x）＞g（0）=﹣1； ∴2﹣a≥1； ∴a≤1．

∴a的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：C

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分.、共30分. 9．函数f（x）=cosx，则f′（

）= ﹣ ．

【考点】导数的运算．

【分析】求函数的导数，根据函数的导数公式代入直接进行计算即可． 【解答】解：∵f（x）=cosx， ∴f′（x）=﹣sinx，f′（故答案为：﹣ 10．定积分

dx的值为

．

）=﹣sin

=﹣，

【考点】定积分．

【分析】根据定积分的性质，然后运用微积分基本定理计算定积分即可． 【解答】解：故答案为：．

11．设（2x+1）3=a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3= 27 ． 【考点】二项式系数的性质．

【分析】令x=1可得a0+a1+a2+a3 的值． 【解答】解：令x=1，a0+a1+a2+a3=33=27， 故答案为：27

12．由数字1，2组成的三位数的个数是 8 （用数字作答）． 【考点】排列、组合及简单计数问题． 【分析】直接根据分步计数原理可得．

【解答】解：每一位置都有2种排法，故有23=8种， 故答案为：8

13．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2 ．”

dx=2

x2dx=2×x3

=．

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【考点】类比推理．

【分析】从平面图形到空间图形的类比

【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．

故答案为：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．

14．研究函数f（x）=

的性质，完成下面两个问题：

①将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为 f（5）＜f（2）＜f（3）； ； ②函数g（x）=

（x＞0）的最大值为 e

．

【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】①利用导数判断在（0，e）递增，（e，+∞）递减得出f（3）＞f（5），运用作差判断f（2）﹣f（5），f（2）﹣f（3）即可得出大小． ②构造函数ln（g（x））=lnx（x＞0），令h（x）=lnx（x＞0），运用导数求解极大值，得出h（x）的极大值为h（e）=lne=，结合对数求解即可． 【解答】解：①∵函数f（x）=

，

∴f′（x）=，

f′（x）==0，x=e，

f′（x）=，＞0，x∈（0，e）

f′（x）=＜0，x∈（e，+∞）

∴在（0，e）递增，（e，+∞）递减 ∴f（3）＞f（5）， ∵f（2）﹣f（5）=∴f（2）＞f（5）

=

=

＞0

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∵f（2）﹣f（3）==＜0

∴f（3）＞f（2）

故答案：f（5）＜f（2）＜f（3）； ②∵函数g（x）=

（x＞0），

∴ln（g（x））=lnx（x＞0） 令h（x）=lnx（x＞0），

h′（x）=（1﹣lnx）=0，x=e

h′（x）=（1﹣lnx）＜0，x＞e

h′（x）=（1﹣lnx）＞0，0＜x＜e

∴h（x）=lnx（x＞0），

在（0，e）递增，在（e，+∞）递减， h（x）的极大值为h（e）=lne=， ∴函数g（x）=故答案为：e

（x＞0）的最大值为e

，

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在数列{an}中，a1=1，an=n?an﹣1，n=2，3，4，…．

（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；

（Ⅱ）根据计算结果，猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【考点】数学归纳法；归纳推理． 【分析】（Ⅰ）利用已知条件通过n=2，3，4，5直接计算a2，a3，a4，a5的值，

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通{an}项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．

【解答】解：（Ⅰ）a1=1，an=n?an﹣1， 可得n=2时，a2=2；n=3时，a3=6； a4=24，a5=120

（Ⅱ）猜想 an=n!．

证明：①当n=1时，由已知，a1=1!=1，猜想成立． ②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=k!． 则n=k+1时，ak+1=（k+1）ak=（k+1）k!=（k+1）!．

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