2017-2018学年北京市西城区高二(下)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的. 1．在复平面内，复数z=

对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在（x+2）4的展开式中，x2的系数为（ ） A．24 B．12 C．6 D．4

3．已知函数f（x）=ln2x，则f′（x）=（ ） A．

B．

C．

D．

4．将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

5．函数f（x）=﹣x2+lnx的极值点是（ ） A．x=﹣1

B．x=﹣

C．x=1 D．x=

6．5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人，其中甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为（ ） A．120 B．144 C．216 D．240

7．设a，b，c是正整数，且a∈[70，80），b∈[80，90），c∈[90，100]，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c的值为（ ） A．252或253 B．253或254 C．254或255 D．267或268

8．已知函数f（x）=ex+ax﹣2，其中a∈R，若对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，都有x2?f（x1）﹣x1?f（x2）＜a（x1﹣x2）成立，则a的取值范围是（ ） A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．D．（﹣∞，1] （﹣∞，2]

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分.、共30分. 9．函数f（x）=cosx，则f′（10．定积分

）= ．

dx的值为 ．

11．设（2x+1）3=a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3= ． 12．由数字1，2组成的三位数的个数是 （用数字作答）．

13．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 ．”

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14．研究函数f（x）=的性质，完成下面两个问题：

①将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为 ； ②函数g（x）=

（x＞0）的最大值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在数列{an}中，a1=1，an=n?an﹣1，n=2，3，4，…．

（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；

（Ⅱ）根据计算结果，猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 16．已知函数f（x）=x3+3x2﹣9x； （1）求f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在区间[﹣4，c]上的最小值为﹣5，求c的取值范围．

17．甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．

科目A 科目B 科目C 甲 （Ⅰ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率； （Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X．求X的分布列和数学期望．

18．口袋中装有2个白球和n（n≥2，n∈N*）个红球，每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖． （Ⅰ）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率； （Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率； （Ⅲ）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值． 19．已知函数f（x）=x2ex﹣b，其中b∈R．

（Ⅰ）证明：对于任意x1，x2∈（﹣∞，0]，都有f（x1）﹣f（x2）≤

；

（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）． 20．设L为曲线C：y=ex在点（0，1）处的切线．

（Ⅰ）证明：除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方； （Ⅱ）设h（x）=ex﹣ax+ln（x+1），其中a∈R，若h（x）≥1对x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．

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2017-2018学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理

科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的. 1．在复平面内，复数z=

对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出在复平面内，复数z对应的点的坐标，则答案可求． 【解答】解：z=

=

，

，

），位于第一象限．

则在复平面内，复数z对应的点的坐标为：（

故选：A．

2．在（x+2）4的展开式中，x2的系数为（ ） A．24 B．12 C．6 D．4 【考点】二项式系数的性质．

【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式即可求出． 【解答】解：（x+2）4的展开式的通项公式为Tr+1=C4r?24﹣r?xr， 令r=2，故展开式中x2的系数为C42?22=24， 故选：A．

3．已知函数f（x）=ln2x，则f′（x）=（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】导数的运算．

【分析】根据复合函数的导数公式进行求解即可． 【解答】解：∵f（x）=ln2x， ∴f′（x）=

=

=，

故选：D

4．将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】将一枚均匀硬币随机投掷4次，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率．

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【解答】解：将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为： p=故选：B．

5．函数f（x）=﹣x2+lnx的极值点是（ ） A．x=﹣1

B．x=﹣

C．x=1 D．x= =．

【考点】利用导数研究函数的极值．

【分析】求出原函数的导函数，确定出函数的单调区间，由此求得函数的极值点． 【解答】解：由f（x）=﹣x2+lnx，得f′（x）=

（x＞0），

当0＜x＜1时，f′（x）＞0；

当x＞1时，f′（x）＜0．

∴函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数． ∴函数f（x）=﹣x2+lnx的极值点为x=1．

故选：C．

6．5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人，其中甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为（ ） A．120 B．144 C．216 D．240 【考点】排列、组合及简单计数问题．

【分析】先求出没有限制要求的5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人的种数，再排除甲乙两名同学分配在同一地区的种数，问题得以解决．

【解答】解：5个人分成满足题意的4组只有1，1，1，2，即只有一个单位有2人，其余都是1人，故有C52A44=240种，

其中甲乙两名同学分配在同一地区的方法为C41A33=24种，

故甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为240﹣24=216种， 故选：C．

7．设a，b，c是正整数，且a∈[70，80），b∈[80，90），c∈[90，100]，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c的值为（ ） A．252或253 B．253或254 C．254或255 D．267或268 【考点】极差、方差与标准差． 【分析】设=

，则数据a，b，c的方差s2=

≥

[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，设a=b+m，c=b+n，则s2≥ [m2+n2+（m+n）2]，应该使得b=85，而当m+n=0，﹣1，1时，s2有可能取得最小值． 【解答】解：设=

，

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