2007年全国卷1高考理科数学试题及答案(河北 河南 山西 广西)

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题 1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｂ 二、填空题 13．3 14．?1 15．1?2i 16．240 三、解答题

17．解：在△BCD中，?CBD?π????．

6．Ｃ 12．Ｂ

BCCD． ?sin?BDCsin?CBDCDsin?BDCs·sin??所以BC?．

sin?CBDsin(???)s·tan?sin?在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?．

sin(???)由正弦定理得

18．证明： （Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC?SA，连结OA，△ABCS

2SA，且2AO?BC，又△SBC为等腰三角形，故SO?BC，且

2SO?SA，从而OA2?SO2?SA2．

2所以△SOA为直角三角形，SO?AO．

B 又AOBO?O．

所以SO?平面ABC．

为等腰直角三角形，所以OA?OB?OC?（Ⅱ）解法一：

取SC中点M，连结AM，由（Ⅰ）知SO?，OMOM?S，CA?M． S∴?OMA为二面角A?SC?B的平面角．

，SOBC?O得AO?平面SBC． 由AO?BC，AO?SOM

O C

A

O，C?SA，A得

3SA， 2AO26故sin?AMO?． ??AM333所以二面角A?SC?B的余弦值为．

3所以AO?OM，又AM?解法二：

以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系

O?xyz．

，0，0)，则C(?1，0，，0)A(01，，，0)S(0，01)，． 设B(1第17页

1?1??11??1?10，?，MO??，0，??，MA??，1，??，SC?(?1，0，?1)． SC的中点M??，222222??????∴MO·SC?0，MA·SC?0．

z 故MO?SC，MA?SC，

S A?SC?B的平面角．

MO·MA3cos?MO，MA???，

3MO·MAM 所以二面角A?SC?B的余弦值为3． 32，

x B 19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y?kx?O C

x2?(kx?2)2?1． 代入椭圆方程得2?12?2整理得??k?x?22kx?1?0 ①

?2?直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于??8k?4?2A y ?1??k2??4k2?2?0， ?2???222??2?，?∞解得k??或k?．即k的取值范围为??∞，． ???????222??2??（Ⅱ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP?OQ?(x1?x2，y1?y2)， 42k． ②

1?2k2又y1?y2?k(x1?x2)?22． ③

由方程①，x1?x2??0)B(0，，1)AB?(?2，1)． 而A(2，，所以OP?OQ与AB共线等价于x1?x2??2(y1?y2)，

2． 222由（Ⅰ）知k??或k?，故没有符合题意的常数k．

22将②③代入上式，解得k?

20．解：

每个点落入M中的概率均为p?依题意知X~B?10000，?．

1． 4

??1?4?1?2500． 4X???4?1?0.03?， （Ⅱ）依题意所求概率为P??0.03?10000??（Ⅰ）EX?10000?第18页

X??P??0.03??4?1?0.03??P(2425?X?2575)

10000??2574??t?24262574?Ct10000?0.25t?0.7510000?t ?0.25?0.75t10000?tt??C10000?0.25t?0.7510000?1 t?02425t?2426?Ct10000?0.9570?0.0423?0.9147．

21．解： （Ⅰ）f?(x)?1?2x， x?a3． 22x2?3x?1(2x?1)(x?1)?从而f?(x)?． 33x?x?223?3??∞?，当??x??1时，f?(x)?0； f(x)的定义域为??，2?2?1当?1?x??时，f?(x)?0；

21当x??时，f?(x)?0．

21??3??1???1?，?，?∞?1，?从而，f(x)分别在区间??，单调增加，在区间????单调减少． 222??????2x2?2ax?1?∞)，f?(x)?（Ⅱ）f(x)的定义域为(?a，．

x?a22方程2x?2ax?1?0的判别式??4a?8．

（ⅰ）若??0，即?2?a?2，在f(x)的定义域内f?(x)?0，故f(x)的极值．

依题意有f?(?1)?0，故a?（ⅱ）若??0，则a?2或a??2．

(2x?1)2?∞)，f?(x)?若a?2，x?(?2，．

x?2??22??2??，?∞当x??时，f?(x)?0，当x???2，时，f?(x)?0，所以f(x)???????22??2??无极值．

(2x?1)2?∞)，f?(x)?若a??2，x?(2，?0，f(x)也无极值．

x?22（ⅲ）若??0，即a?2或a??2，则2x?2ax?1?0有两个不同的实根

?a?a2?2?a?a2?2x1?，x2?．

22当a??2时，x1??a，x2??a，从而f?(x)有f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极

值．

第19页

2时，x1??a，x2??a，f?(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值

判别方法知f(x)在x?x1，x?x2取得极值．

当a??∞)． 综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，f(x)的极值之和为

1ef(x1)?f(x2)?ln(x1?a)?x12?ln(x2?a)?x22?ln?a2?1?1?ln2?ln22P ．

22．Ａ

A （Ⅰ）证明：连结OP，OM． O 因为AP与O相切于点P，所以OP?AP．

M 因为M是O的弦BC的中点，所以OM?BC． B 于是?OPA??OMA?180°． C 由圆心O在?PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以?OAM??OPM． 由（Ⅰ）得OP?AP．

由圆心O在?PAC的内部，可知?OPM??APM?90°． 所以?OAM??APM?90°． 22．Ｂ

解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

（Ⅰ）x??cos?，y??sin?，由??4cos?得??4?cos?． 所以x?y?4x． 即x?y?4x?0为

2222222O1的直角坐标方程． O2的直角坐标方程．

同理x?y?4y?0为

22??x2?2?x?y?4x?0，?x1?0，（Ⅱ）由?2解得?． ?2y?0，y??2??1?2?x?y?4y?0即O1，O2交于点(0，0)和(2，?2)．过交点的直线的直角坐标方程为y??x．

22．Ｃ解：

（Ⅰ）令y?2x?1?x?4，则

y 1??x?5， x≤?，?2?1?．．．．．．．．．．．．．．3分 y??3x?3， ??x?4，．

2??x?5， x≥4．??y?2 O 1? 2?5?34 ??x 2?． 2)和?，作出函数y?2x?1?x?4的图象，它与直线y?2的交点为(?7，?7)所以2x?1?x?4?2的解集为(?x，?5?，?x??． ?3?第20页