2007年全国卷1高考理科数学试题及答案(河北 河南 山西 广西)

（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）； （Ⅱ）求η的分布列及期望Eη。

19．（本小题满分12分）

四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=22，SA＝SB＝3。

（Ⅰ）证明：SA⊥BC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小。

20．（本小题满分12分） 设函数f（x）＝ex－e

－ x

。

（Ⅰ）证明：f（x）的导数f＇（x）≥2；

（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围。

21．（本小题满分12分）

x2y2＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，已知椭圆32过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P。

22x0y0＋?1； （Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：32（Ⅱ）求四过形ABCD的面积的最小值。

22．（本小题满分12分）

1）已知数列{an}中a1＝2，an＋1＝（2－（an＋2），n＝1，2，3…。

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

第5页

（Ⅱ）若数列{bn}中b1＝2，bn＋1=

3bn＋4，n＝1，2，3，…，证明：

2bn＋3…。 2?bn?a4n?3，n＝，，1 23，

2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）

数学（理科）试卷

参考答案

一、选择题： 1．D 7．D

2．B 8．D

3．A 9．B

4．A 10．D

5．C 11．C

6．C 12．A

二、填空题： 13．36

x

14．3(x?R) 15．

1 3

16．23 三、解答题： 17．解：

（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB?1， 2由△ABC为锐角三角形得B?π。 6?????A? ??（Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin???????cosA?sin??A?

?6?13?cosA?cosA?sinA

22第6页

????3sin?A??。

3??由△ABC为锐角三角形知，

???????A??B，?B???。 2222632????A??， 336所以

1???3。 sin?A???2?3?23??3??3sin?A????3， 23?2??33?。 ??2，?2??由此有

所以，cosA+sinC的取值范围为? 18．解：

（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”。 知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

P(A)?(1?0.4)2?0.216，

P(A)?1?P(A)?1?0.216?0.784。

（Ⅱ）?的可能取值为200元，250元，300元。

P(??200)?P(??1)?0.4，

P(??250)?P(??2)?P(??3)?0.2?0.2?0.4，

P(??300)?1?P(??200)?P(??250)?1?0.4?0.4?0.2。

?的分布列为

? P

200 0.4 250 0.4 300 0.2 第7页

E??200?0.4?250?0.4?300?0.2

=240（元）。

19．解法一：

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD。

因为SA=SB，所以AO=BO，

又∠ABC?45，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO， 由三垂线定理，得SA⊥BC。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC， 故SA⊥AD，由AD?BC?22，SA?SO=1，SD?11。 △SAB的面积

3，AO?2，得

S 1S1?AB2连结DB，

?1?SA??AB??2。

?2?22C D A O B

得△DAB的面积S2?1ABADsin135?2 2设D到平面SAB的距离为h，由于VD?SAB?VS?ABD，得

11hS1?SOS2， 33解得h?2。

设SD与平面SAB所成角为?，则sin??h222。 ??SD111122。 11所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin第8页