高等数学期末复习- 多元函数微分学

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解：

?zxy1??(?2)??，所以选D. （内容要求7） ?xyxxy20、设z?(1?xy)，

?z? ?y解：

?zx?(1?xy)y?1?x?ln(1?xy)?(1?xy)y?(1?xy)y[?ln(1?xy)]，所以填 ?y1?xyx(1?xy)y[?ln(1?xy)]。（内容要求7）

1?xy21、 若函数z?2x?xy，则解：

22?z? ?x?z（内容要求7） ?4x?y2，所以填4x?y2。

?x2y?2z?2z22、设z?2cos(x?)，验证22??0。

2?x?y?y解：z?2cos(x?2y?z?z)?cos(2x?y)?1,??2sin(2x?y),?sin(2x?y) 2?x?y?2z?2z?2cos(2x?y),2??cos(2x?y)，将上述导数代入式子左端得0，所以等式成立。?x?y?y（内容要求7）

2222?z?z?z?z4422,23、设z?x?y?4xy，求2,2,.

?x?y?x?y?y?x22?z32?z2?z?4x?8xy,2?12x?8y,??16xy 解：?x?x?x?y2?2z?z2??16xy。由x,y在表达式中的对称性，2?12y?8x,（内容要求8）

?y?y?x22?z?z22?24、设z?x?y，求22． ?x?y?zx?2z1x2y2?,2???解：2222223?xx?y?xx?y(x?y)(x2?y2)3?2zx2由x,y在表达式中的对称性，2??y(x2?y2)3.

?2z?2z?，所以，2?2?x?y1x?y22。

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（内容要求8） 25、设z?ln(x?y)，求x?z?z?y ?x?y解：

?z??x111??，由x,y在表达式中的对称性，

x?y22(x?y)x?z??y111?z?z1???y?（内容要求8） ，所以，x2?x?y2x?y2(x?y)y22?2z?2z?2z26、 设z?ln(x?y)，求2,2,.

?x?y?x?y?z2x?2z24x22y2?2x2?2z4xy?2,???,??解：， ?xx?y2?x2x2?y2(x2?y2)2(x2?y2)2?x?y(x2?y2)2?2z2x2?2y2由x,y在表达式中的对称性，2?2（内容要求8） 22。

?x(x?y)?2z?2z??2z?xy?27、设z?ln(e?e)，验证2?-?=0. 2???x?y?x?y???zex?2zexe2xex?y?2zex?y?x,2?x?x?x,??x解： yyy2y2y2?xe?e?xe?e(e?e)(e?e)?x?y(e?e)?2zex?y由x,y在表达式中的对称性，2?x，将上述各导数代入式子左端得0，所以等

?y(e?ey)2式成立。（内容要求8）

28、设z?x?y?t，x?sint，y?cost，求全导数解：

222dz. dtdz（内容要求9） ?2xcost?2ysint?1。

dt?z?z,及全微分dz. ?x?y29、z?ulnv,u?xy,v?x?y，求

解：

?zuxy?zuxy?lnv?y??yln(x?y)??lnv?x??xln(x?y)?，，全微?xvx?y?yvx?yxyxy]dx?[xln(x?y)?]dy。（内容要求9） x?yx?y2分为dz?[yln(x?y)?30、设z?y?fx?y?2?,其中f?u?可微，则y?z?z?x? ?x?y.

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解：

?z?z?z?z?2xf??x2?y2?,?1?2yf??x2?y2?，所以y?x?x，所以填x.（内?x?y?x?y容要求9） 31、设z?f(x2?y2,exy)，其中f有一阶连续偏导数，求

?z?z,. ?x?y?z?zxyxy????2xf?yef,??2yf?xef2?量（内容要求9） 解：121?x?y32、设z?f(x2?y2,ex?y)，其中f有一阶连续偏导数，求

?z?z,. ?x?y?z?zx?y???2xf1?ef2,?2yf1??ex?yf2?。解：（内容要求9）

?x?y33、u?f(y?z,z?x,x?y)有连续偏导数，求

?u?u?u?? ?x?y?z解：

?u?u?u?u?u?u??0（内容要求9）??f2??f3?,?f1??f3?,??f1??f2?，所以，?

?x?y?z?x?y?z34、设z?xy?x,则z的全微分dz?( ). y (A) (y?1x1x)dx?(x?2)dy (B) (y?)dx?(x?2)dy yyyy1x11)dx?(x?)dy (D) (y?)dx?(x?)dy yyyy(C) (y?解：

?z1?zx1x?y?,?x?2, 所以dz?(y?)dx?(x?2)dy，所以选A。（内容要求?xy?yyyy10）

35、函数z?ln(x?y)的全微分为 解：

?z1?z111?,?(dx?dy)。所以填dz?(dx?dy)。，所以dz??xx?y?yx?yx?yx?y（内容要求10）

36、设y?xe?0，则

ydy?( ). dx.

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eyey1?xeyxey?1(A) (B) (C) (D)

xey?11?xeyeyeyey解：(y?xe)??0?y??e?xey??0?y??，所以选B。（内容要求11）

1?xeyyyy37、设z?z(x,y)是由方程e?xyz?0所确定的隐函数，则(A)

z?z?( ). ?xyzyzxyxy (B) (C) (D) zzzze?xye?xye?yze?yzz解：e?z?z?zyz?yz?xy?0??z，所以选B。（内容要求11） ?x?x?xe?xy338、设z?z(x,y)是由方程z?3xyz?0所确定的隐函数，则有( ). (A) x?z?z?z?z?z?z?z?z?y (B) ?x ?? (C) ? (D) y?x?y?x?y?x?y?x?y2解：3z?z?z?zyz?zxz?3yz?3xy?0??2?2，同理，，所以选A。（内容?x?x?xz?xy?yz?xy要求11）

39、设方程x?y?z?e确定了二元函数z?f(x,y)，则解：1?z?z? ?x?z?z?z11，所以填z。（内容要求11） ?ez??z?x?x?xe?1e?1z40、 设方程x?2y?e?z?0确定了二元函数z?f(x,y)，则

?z? ?y解：2?ez?z?z?z22??0??z所以填z。（内容要求11） ?y?y?ye?1e?1z41、设方程xyz?e确定了二元函数z(x,y)，则

?z? ; ?y解：xz?xy?z?z?zxzxz?ez??z，所以填z。（内容要求11） ?y?y?ye?xye?xy22242、设方程x?y?z?4z?0确定了二元函数z(x,y)，则

?z? ; ?y解：2y?2z?z?z?zyy?4?0??，所以填。（内容要求11） ?y?y?y2?z2?z.