第一章 空间几何体 - 图文

沿表面最短问题，一般需要展开在平面上考虑。而由于正方体的六个面是完全相同的正方形，无论如何展开都是相同的，因此，我们只须按侧面展开、铺平，将立体问题转化为平面问题，然后再进行求解.

略解 沿CC1剪开,使面AB1与面BC1共面(如图5)可求得A1C=102＋52=55,即蚂蚁从A出发沿表面爬行到点C1的最短路线的长为55cm.

如果再将正方体这一条件改为长方体,情况还会如此吗? 引导学生研究3

如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4cm,BC=3cm,BB1=5cm,现有一只蚂蚁,从A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线的长. 分析

此题虽然还是求蚂蚁沿表面最短的问题,同样需要展开在平面图形上考虑.但此题是否也象上题一样,只须考虑它的侧面展开图就行呢?答案是否定的,因为长方体的长、宽、高各不相同,因此,它们在同一顶点上的三个面完全不同,随着展开的情况不同,蚂蚁所走的路程也不同,因此,我们要求蚂蚁爬行的最短路线的长,必须先进行分类讨论．

沿长方体的一条棱剪开,使点A和点C1展在同一平面上,求线段AC1的长即可,如下图所示有三种剪法

D1 C1 A1 B1

C D

A B

若沿C1D1剪开,使面AB1与面A1C1共面,可求得 AC1=42＋(5＋3)2=80cm

若沿AD剪开,使面AC与面BC1共面,可求得 AC1=32＋(5＋4)2=90cm 若沿CC1剪开,使面AB1与面BC1共面,可求得

AC1=52＋(3＋4)2=74cm

比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为74cm

经历研究3后,可让学生展开联想的翅膀,透过现象看本质,是否还可以从中挖掘出更一般的结论来呢?学生可能会归纳出:

一般地,如果长方体相邻的三条棱长分别为a、b、c,且满足a>b>c,则所求最短距离应当是a2＋(b＋c)2,教师可带领学生进一步欣赏”蜘蛛与苍蝇”这一世纪谜题的无穷魅力.

利用侧面展开图解题,关键是掌握好空间图形的各个元素在展开前后的位置关系．注意画好立体图与展开图,并标出对应元素,在展开图中两点间的最短距离就是连结这两点的线段的长．

找错:求最短距离

如图1,在直角坐标系中,矩形ABCD的顶点分别为A(0,0)、B(7,0)、C(7,6)、D(0,6),矩形ABCD内的点P(1,5)、Q(5,1),现将矩形ABCD卷成一个圆柱的侧面,求圆柱的侧面上P、Q间的最短距离． D C

·P

·Q A B 图1 错解1因为圆柱侧面上两点间的最短距离为其侧面展开图上两点间的最短距离,矩形ABCD恰为圆柱的侧面的展开图,所以侧面上P、Q间的最短距离为

|PQ|=(5－1)2＋(1－5)2=42 错解2如图,

D F C F′ ·P

· Q

A E B E′ 图2

过点P作EF∥AD,分别与AB、CD交于点E、F,再将矩形AEFD剪下,补在图中BE′F′C的位置,则矩形EE′F′F就是圆柱以母线EF的侧面展开图,E、P、F的对应点分别为E′、P′、F′,且P′(8,5),在圆柱的侧面上P、Q两点间的最短距离就是|PQ|、|PQ′|中较小的,又因为|PQ|=42,|PQ′|=(8－5)2＋(5－1)2=5,所以P、Q两点间的最短距离为5． 分析

把矩形ABCD卷成一个圆柱的侧面,有两种不同的卷法,以AD或BC为母线与以AB或CD为母线

在圆柱的侧面上,从P点到达Q点有两个不同的方向

错解1只考虑了一种卷法和一个方向,错解2虽然考虑了从P到Q有两个不同的方向,但只考虑了一种卷法．两种解法都犯了思维不全面的错误 按以线段AD为母线和以线段AB为母线进行分类讨论

若以AD为母线,过程如错解2,此时在圆柱的侧面上P、Q间的最短距离为|PQ|=5 若以AB为母线,如图3

过A作AB的平行线MN,分别交AD、BC于点M、N,再将矩形ABMN剪下补在图中DCN′M′的位置,则矩形MNN′M′就是圆柱以母线MN的侧面展开图,M、Q、N的对应点分别为 M′、Q′、N′,且Q′(5,7),在圆柱的侧面上P、Q两点间的最短距离就是|PQ|和|PQ′|中的

较小者,又因为|PQ′|=(1－5)2＋(5－7)2=25,所以此时在圆柱的侧面上P、Q间的最短距离为25．

综上所述,把矩形ABCD卷成一个圆柱的侧面,在圆柱的侧面上P、Q间的最短距离为25． 练习:圆台的体积为213π.它的上底半径r,下底半径R与母线l之比为1∶4∶6,求圆台的侧面积以及底面圆直径的两端点在侧面上的最短距离.

解 设r?a,则R = 4a , l = 6a,

圆台的高 h=( 6a )－ ( 4a－a )=33 a, V圆台=

2211πh(R2＋Rr＋r2)= π×33 a×(16a2＋4a2＋a2)=213πa3. 33∵V圆台=213π ∴a=1

∴圆台的侧面积S=π(R＋r)l=30πa2=30π.

设A、B是底面直径的两个端点,为求A、B两端点在侧面上的最短距离,可将圆台侧面展开.

圆台的侧面展开图是一个圆环的一部分,易知圆环的大圆半径为8a,小圆半径为2a,由于底面圆周长为8πa,所以圆台的侧面展开图是一个半圆环,底面直径的两端点A、B之间的大圆弧劣弧为大圆周长的四分之一．容易看出,A、B两点在侧面上的最短距离就是展开图中线段BA′的长,易知BA′=82a. 【典例剖析】

如图,长方体ABCD- A1B1C1D1中被截去一部分,其中EH∥AD1,剩下的几何体是什么?截去的几何体是什么?你能说出它们的各称吗?

D1 H C1 G A1 E F

D C A B 分析解答:本题主要考查棱柱的定义,剩下的几何体如果把看作面A1EHD1、面ADBCGF上下底,虽然它们互相平行,但是其余面的交线并不平行,很容易判断它不是棱柱,可是我们把面ABFEA1、面DCGHD1作为上下两个底面,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,符合棱柱的定义. 所以剩下的几何体是五棱柱.截去的几何体面EFB1、面HGC1互相平行,面HEB1C1、B1C1GF、EFGH都是四边形,且这些四边形的公共边都互相平行,由棱柱定义可知,此几何体是三棱柱.

测控点2：锥体

【测控点击】

(1)有一个面是多边形，其他面都是三角形的几何体，是否一定为棱锥？不一定。例如，将两个底面全等的三棱锥的底面重合在一起，使顶点分别在底面的两侧，这样组成的几何体的

所有的面都是三角形，但它不是棱锥.

(2)圆锥的轴经过顶点和底面的中心,圆锥的底面所在平面是垂直于轴的一个圆,圆锥的母线过顶点且相等，且与轴的夹角相等.

(3)在体积计算中充分展现空间想象能力，实际上也是培养和培养和提高学生空间想象能力的重要方法，以体积计算为载体只是培养空间想象能力的一种途径. 想象是在头脑中创造新事物的形象，或者根据口头语言或文字描述，形成相应事物形象的过程。想象能力的培养有助于开发右脑，有助于学生的发散性思维的形成，是培养学生创造能力的基础.只有对几何图形的空间整体结构有了充分准确而牢固地把握，才能在这些载体的依托下充分展现空间想象能力.一般地，在解立体几何题时，先把条件分类，如分为棱长，角度，平行垂直等几类，然后标在图上，使题目与图形分离开来，看图形，想象空间结构，把多面体的每个面都拆下来，再安装复位，把空间的所有平行垂直关系牢牢记在脑海里，把空间的图形切割成几小块，然后安装复位，把空间图形补全后，再取出来，这些过程必须通过一定的解题实践，最终达到见一个试题，所有这些过程都能在空间想象中迅速完成，经常依托各种载体进行空间结构想象的训练，空间想象能力一定会明显提高.

(4)体积的计算是立体几何的重要问题之一，它既包含着对空间点、线、面、体位置关系的论证，又包含着对空间几何体进行等体积变换，分割，补形等综合处理，对空间想象能力及逻辑推理能力都有较高层次的要求，因此，体积计算自然也成为高考的热点考查内容. 专题探究:体积的计算问题

体积的计算问题一般有两类方法： 1．直接法，分下面三个步骤完成 ⑴确定几何体底面形状，确定高 ⑵计算底面积S，计算高h ⑶代入体积公式计算

第⑴步是这类方法的核心和难点，包括作辅助线和论证两个重要步骤，也是空间想象能力展现的重要部位

2.间接法，分为下面几种情形

⑴若几何体为四面体（或组合的四面体）,用换底面（同时也换了高）的方法，把较复杂的问题简单化，直观化

⑵若几何体较为复杂，可采用分割的方法把它分割成若干个简单几何体，分别计算其体积，最后求和，这种思路中应特别注意分割成的几何体体积间有何关系. ⑶若几何体体积难以计算时，可采用补全图形把它转化为易求体积的几何体，这种思路的核心是弄清补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有较为明显的确定关系.

例题 在三棱锥P-ABCD中，PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱

锥P-ABCD的体积.

思路1采用直接法，先确定底面形状和高，再计算底面面积S和高h，最后代入公式计算 解法1把ΔABC视作底面，∵∠BAC=60°，AB=AC=2a，∴ΔABC是边长为2a的正三角形，∴SΔABC=3a2.过P作PO⊥面ABC垂足为O，故PO为三棱锥的高，易证O在∠BAC的平分线上，关于PO的计算有多种方法.

简评这种方法是最基本的方法，也最低层次的方法，缺少对图形整体空间结构的认识，若注