导数的概念导数公式与应用

导

知识点一：函数的平均变化率

数的概念及运算

（1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做

函数从到+△x的平均变化率，即。

若注意：

，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。

①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当

取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

③是自变量在处的改变量，更小考虑。

；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数

没有变化，应取

（2）平均变化率的几何意义

函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。

事实上，。

作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数

，在点

处给自变量x以增量

，函数y相应有增量

。若极限

存在，则此极限称为

处可导。

在点处的导数，记作或，此时也称在点

即： 注意： ①增量

可以是正数，也可以是负数；

（或）

②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数成了一个新的函数

在开区间, 称这个函数

内的每点处都有导数，此时对于每一个

为函数

，都对应着一个确定的导数

，从而构

在开区间内的导函数，简称导数。 是常数，是函数

在

处的函数值，反映函数

在

注意：函数的导数与在点

附近的变化情况。

3．导数几何意义： （1）曲线的切线

处的导数不是同一概念，

曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为

Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。

若切线的倾斜角为

，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。

当点

即：。

(2)导数的几何意义： 函数 注意： ①若曲线 ②

在点，切线与在点x0的导数

是曲线

上点（）处的切线的斜率。

处的导数不存在，但有切线，则切线与

轴正向夹角为锐角；

，切线与

轴垂直。

,切线与

轴平行。

轴正向夹角为钝角；

(3)曲线的切线方程 如果

在点

可导，则曲线

在点（

）处的切线方程为：

4．瞬时速度：

。

物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。

如果物体的运动规律满足s=s(t)(位移公式)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体t到t+△t这段时间内，当△t→0时平均速

度的极限，即。

如果把函数规律方法指导

看作是物体的位移公式），导数表示运动物体在时刻的瞬时速度。

1．如何求函数的平均变化率

求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出

和

②作商：对所求得的差作商，即 注意：

。

（1）零。若函数

为常数函数时，

。

，式子中、的值可正、可负，但的值不能为零，的值可以为

（2）在式子中，与是相对应的“增量”，即在时，。

（3）在式子

同的数值时，函数的平均变化率也不一样。 2．如何求函数在一点处的导数

中，当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当取定值，取不

（1）利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”。 ①计算函数的增量：

；

②求平均变化率：；

③取极限得导数：

（2）利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。 3．导数的几何意义 ①设函数 ②设 ③设

在点

的导数是

，则

表示曲线

。

在点（）处的切线的斜率。

是位移关于时间的函数，则是速度关于时间的函数，则

表示物体在表示物体在

时刻的瞬时速度； 时刻的加速度；

4．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤

①求出在处的导数；

。

②利用直线方程的点斜式得切线方程为

类型一：求函数的平均变化率

1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值.

思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式进行操作.

举一反三：

【变式1】求函数y=5x+6在区间[2，2+

2

]内的平均变化率。

【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]；

（2）[1，2]；

（3）[1，]；

（4）[1，].

【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到，，各段内的平均速度（位移s的单位为m）。

【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.

类型二：利用定义求导数