2013届高中人教B版理科数学专题训练及解析(64)离散型随机变量的均值与方差、正态分布

专 题练习(六十四) [第64讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布]

[时间：45分钟 分值：100分]

基础热身

1．下面说法正确的是( )

A．离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值 B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C．离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平

D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值

1

2．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩

4

1

5，?，则E(2X＋1)等于( ) 优秀的学生数X～B??4?

55A. B. 42

7

C．3 D.

2

3．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员、2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的数学期望是( )

13A. B. 51046C. D. 554．某种摸奖活动的规则是：在一个袋子中装有大小、质地完全相同、编号分别为1,2,3,4的小球各一个，先从袋子中摸出一个小球，记下编号后放回袋子中，再从中取出一个小球，记下编号，若两次编号之和大于6，则中奖．某人参加4次这种抽奖活动，记中奖的次数为X，则X的数学期望是( )

11A. B. 4233C. D. 164能力提升

11

n，?，Y～B?n，?，且E(X)＝15，则E(Y)等于( ) 5．已知X～B??2??3?

A．5 B．10 C．15 D．20

6． 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )

A．100 B．200 C．300 D．400

7．已知离散型随机变量X的概率分布列为 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差D(X)等于( ) A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4

1

8． 已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝( ) A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585

9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是( )

A．7.8 B．8 C．16 D．15.6

10．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X，则X的数学期望E(X)＝________.

11．体育课的投篮测试规则是：一位同学投篮一次，若投中则合格，停止投篮，若投不中，则重新投篮一次，若三次投篮均不中，则不合格，停止投篮．某位同学每次投篮的命

2

中的概率为，则该同学投篮次数X的数学期望E(X)＝________.

3

12．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________.

13．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>1 000)，为确保保险公司有可能获益，则a的取值范围是________．

14．(10分) 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.

(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；

(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数X的分布列和数学期望．

15．(13分) 不透明盒中装有10个形状大小一样的小球，其中有2个小球上标有数字1，有3个小球上标有数字2，还有5个小球上标有数字3.取出一球记下所标数字后放回，再取一球记下所标数字，共取两次．设两次取出的小球上的数字之和为X.

(1)求随机变量X的分布列； (2)求随机变量X的期望E(X)．

难点突破

2

16．(12分)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．

(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；

(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

(3)记X表示抽取的3名工人中男工人数，求X的分布列及数学期望．

3

专题练习(六十四)

【基础热身】 1．C [解析] 离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平，它的方差反映X取值的离散程度．

1555，?，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋12．D [解析] 因为X～B??4?44

7＝. 2

1

C21C16C2323C23

3．D [解析] X＝0,1,2.P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝2＝，P(X＝2)＝2＝.所以

C510C510C510

6E(X)＝.

5

4．D [解析] 根据乘法原理，基本事件的总数是4×4＝16，其中随机事件“两次编号

3

之和大于6”含有的基本事件是(3,4)，(4,3)，(4,4)，故一次摸奖中奖的概率为.4次摸奖中

16

333，4?，根据二项分布的数学期望公式，则E(X)＝4×＝. 奖的次数X～B??16?164

【能力提升】

1n

n，?，所以E(X)＝，又E(X)＝15，则n＝30. 5．B [解析] 因为X～B??2?2

11

30，?，故E(Y)＝30×＝10. 所以Y～B?3??3

6．B [解析] X的数学期望概率符合(n，p)分布；n＝1000，p＝0.1，∴E(X)＝2×1000×0.1＝200.

7．C [解析] 因为0.5＋m＋0.2＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，

D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.

8．B [解析] 本题考查了正态分布的有关知识，该知识点在高考考纲中是B级要求．

1－P?2≤X≤4?1－0.6826

通过正态分布对称性及已知条件得P(X＞4)＝＝＝0.1587，故

22

选B.

9．A [解析] X的取值为6,9,12，相应的概率

12

C37C27C117788C28C2

P(X＝6)＝3＝，P(X＝9)＝3＝，P(X＝12)＝3＝，E(X)＝6×＋9×＋

C1015C1015C10151515

1

12×＝7.8.

15

10．1.4 [解析] X＝0,1,2.P(X＝0)＝0.2×0.4＝0.08，P(X＝1)＝0.8×0.4＋0.2×0.6＝0.44，P(X＝2)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(X)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝1.4.

13211. [解析] 试验次数X的可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝， 93

122

P(X＝2)＝×＝，

339

1121?1

＋＝. P(X＝3)＝××?33?33?9

随机变量X的分布列为 X 1 2 3 221P 39922113所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

3999

1

12．2 [解析] 每次取球时，红球被取出的概率为，8次取球看做8次独立重复试验，

2

4