2018高考全国卷1理科数学试题及答案解析教学内容

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将 y k(x 1) 代入 x

2

2

2

1

得

2

2

2

2

y

(2k

1)x

. 2

4k x 2k 2 0 .

所以， x

1

x

2

4k

2

2

, x x

1

2

2k

2

2

2k

则 2kx x

1

2

1

2

1

3k( x x ) 4k

2k 1 3 3 3

4k 4k 12k 8k 4k

2

0 .

2k

从而 k

MA

1

k

MB

0 ，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以 OMA OMB .

综上，

OMA OMB .

13.8（12 分）

解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为

2 20

2

18

f ( p) C p (1 p) .因此

17

2 20

18 2 17 2 20

f ( p) C [2 p(1 p) 18 p (1 p) ] 2C p(1 p) (1 10p) .

令 f ( p) 0 ，得 p 0.1.当 p (0,0.1) 时， f ( p) 0 ；当 p (0.1,1) 时， f ( p) 0 . 所以 f ( p) 的最大值点为

p0

（2）由（ 1）知， p

0.1.

0.1.

Y : B(180,0.1) ， X

（i）令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 即 X

20 2 25Y ，

40 25Y .

E (40 25Y ) 40 25EY

490.

400 元.

所以 EX

（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为

EX 由于

13.9（12 分）

400，故应该对余下的产品作检验 .

解:（1） f (x) 的定义域为 (0, ) ，

2

1

1

2

a x

x

.

ax 1

2

f (x)

x

x

) 单调递减 .

（i）若 a 2，则 f (x) 0 ，当且仅当 a 2， x 1f 时 (x) 0 ，所以 f (x) 在 (0,

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（ii）若 a 2，令 f (x) 0得，

2

4

a x

a 2

或 x

2

4

.

a a 2

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当

2

4 a )U ( 4 a ,

2

2

2

4 ,

) 时， f (x) 0 ；

2

a a 2

a 2 4

4

a ),( 2

2

x (0,

当

2

2

4 ,

a x (

a 2

a 2 4 a ,

4

单调递增 . )

a a a 2

)

单

) 时， f (x) 0.所以 f (x) 在 (0, a 2

调递减，在 a

a 2

(

（2）由（ 1）知， f ( x) 存在两个极值点当且仅当

由于 f (x) 的两个极值点 x1,x2 满足 2

a 2.

1 0 ax ln x

2

x ，所以 x1x2

1

1，不妨设 x1

2

x2 ，则 x2 1.由于

2

f (x )

1

f (x )

2

1 ln x

1

ln x ln x 2 a

2 a

2ln x ， 1

1 a

x

1

x

2

x x

1 2

x

1

x

2

x

1

x

2

x

2

x

2

所以

f ( x )

1

f (x )

2

x

1

x

2

1 等价于 a 2

x

2

x

2

2ln x

2

0 .

) 单调递减，又 g (1) 0 ，从而当 x (1,

)

设函数

1

x 2ln x x

g(x)

，由（1）知， g( x) 在(0,

时， g(x) 0.

1

所以

x

2

x

2

2ln x

2

0 ，即

f (x )

1

f (x )

2

a 2

.

x

1

x

2

22．[选修 4-4：坐标系与参数方程 ] （10 分）

【解析】（1）由 x

cos ， y sin 得

C 的直角坐标方程为

2

2 2

( x 1) y 4．

（2）由（ 1）知 C2 是圆心为 A( 1,0) ，半径为 2

的圆．

l ，y 轴左边的射线为 1

由题设知， C1 是过点 B(0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线． 记 y 轴右边的射线为

l

2

B 在圆 C2 的外面， 故 C1 与．由于 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与C2 只有一个公共点且 l2 与C2 有

两个公共点，或 l2 与C2 只有一个公共点且 l1 与C2 有两个公共点．

| k 2 |

2 ，故 当l1 与C2 只有一个公共点时， A 到 l1 所在直线的距离为 2 ，所2 k

以 k 1

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4

k 0

3

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经检验，当 k 0l1 与时， C2 没有公共点；当

4

时， l1与C2 只有一个公共点， l2 与C2 有两个

k

公

3

共点．

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