吉林大学2015概率论与数理统计大作业完整版

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大作业

1.仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率. (1)解：设A表示事件“仪器发生故障”，i=1,2,3 P(A)=

?P(B)P(A/B),

i?1ii3P(B1)=3*0.2*0.80.2=0.384,P(B2)=3*0.22*0.8=0.096,P(B3)=0.23=0.008 所以P(A)=0.384*0.25+0.096*0.6+0.008*0.95+0.1612 (2) P(B2/A)=

p(AB2)P(A)=0.96*0.6/0.1612=0.3573

2．设连续型随机变量X的分布函数为

x??a,?0,?x?F(x)??A?Barcsin,?a?x?a,(a?0)

a?x?a,??1,?aa?求：（1）常数A、B．（2）随机变量X落在??,?内的概率．（3）X的概率密度函数．

?22?ππ1B=0，F（a-0） =A+B=1 所以A=0.5 B= 22πaaaa1 (2)P{-

22223解：（1）F（a+0）=A-1πa^2-x^2,| x|?a (3)f（x）=F（X)=?，

0,其他

2014-2015学年第一学期期末《概率论与数理统计》大作业

?ke?(2x?y),x?0,y?0,3．已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??

0,其它.?（1）求系数k；（2）判断X和Y是否相互独立；（3）计算概率P?X?2Y?1?；（4）求Z?min{X,Y}的密度函数fZ(z). 解：（1）.由

???∞?∞?∞?∞f(x,y)dxdy?1,得k?2.

?e^?y,y?0,?2e^?2x,x?0, （ 2）.相互独立。X和Y的边缘概率密度分别为fx（x）=? fy(x)=?。

0,x??0,0,y??0.?? （3）.P?x?2| Y?1??1?e^?4

?1?e^?3z,z?0?3e^?3z,z?0（4).Z=min?x,y? 的分布函数为Fz(z)=?所以fz(z)=?0,z??00,z??0.??

4．设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为 Y X 0 1 2 0 1 2 1 120 0 1 120 1 30 1 41 4（1）写出关于X、Y及XY的概率分布；（2）求X和Y的相关系数?XY. 解： x p Y P XY P

E(X)=4/3,E(Y)=4/3,COV(X,Y)=0,?XY=0

5．假设0.50，1.25,0.80,2.00是来自总体X的简单随机样本值。已知Y?lnX服从正态分布N(?,1).

(1)求X的数学期望E(X)；

0 5/12 1 1/3 4 1/4 0 1/3 1 1/3 2 1/3 0 1/6 1 1/3 2 1/2 2014-2015学年第一学期期末《概率论与数理统计》大作业

(2)求?的置信度为0.95的置信区间. 解：（1）Y的概率密度为：f?y??令t?y?? 于是有：

12?e??y???22,???y???

b?E?X??Ee??12????Y??12???eey??y???22dy?12??????et??e1?t22dt?e??12???12???e?1?t?1?22dt?e

??0.05标准正态分布的水平为??0.05的分位数等于1.96 故由Y2）当置信度1???0.95时，

服从于N(?,),得:

14P{y?1.96?其中y?14???y?1.96?14}?0.95

1?ln0.5?ln0.8?ln1.25?ln2??1ln1?0 于是有: 44P{?0.98???0.98}?0.95 从而??0.98,0.98?就是?的置信度为0.95的置信区间.

6．设总体X的概率密度为

?(??1)x?,0?x<1,f(x)??

0,其他,?其中???1是未知参数,X1,X2,估计量.

,Xn为来自总体X的样本,试求参数?的矩估计量和最大似然

解：（1） 因为 ?1?E(X)??0x(??1)x?dx?令 ?1?A1, 即

1??1, ??2??1?X , ??2解得?的矩估计量为

?? ?2) 设x1,x2,2X?1

1?X,Xn的观测值(0?xi?1,i?1,2,,n),似然函数为

n,xn是样本X1,X2,nL(?)??f(xi)??(??1)xi??(??1)n(x1x2i?1i?1xn)?,??（9分

取对数得 lnL(?)?nln(??1)???lnxi

i?1ndlnL(?)n???lnxi?0， 令

d???1i?1n

2014-2015学年第一学期期末《概率论与数理统计》大作业

?解得?的最大似然估计值为 ???1?

n?lnxii?1n,