2017-2018学年高中数学必修五教材用书（28份） 人教课标版17（实用教案）

数列的概念与简单表示法

第一课时 数列的概念与通项公式

数列的概念 [提出问题]

观察下列示例，回答后面问题 ()正整数的倒数依次是，，，，，.

()－的次幂、次幂、次幂、次幂依次是－，－.

()人们在年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：，….

()“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为份，那么每日剩下的部分依次为：，，，，，….

问题：观察上面个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ 提示：按照一定的顺序排列． [导入新知] 数列的概念

()定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．

()项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．称为数列{}的第项(或称为首项)，称为第项，…，称为第项．

()数列的表示：数列的一般形式可以写成，，，…，，…，简记为{}． [化解疑难]

．数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．

．项与序号是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．

．{}与是不同概念：{}表示数列，，，…，，…；而表示数列{}中的第项.

数列的分类 [提出问题]

问题：观察“知识点一”中的个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？

提示：数列()中有项，数列()中有项，数列()()中有无穷多项；数列()中每一项都小

于它的前一项，数列()中的项大小不确定，数列()中每一项都大于它的前一项，数列()中每一项都小于它的前一项．

[导入新知] 数列的分类 分类标准 按项的个数 名称 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 递增数列 从第项起，每一项都大于它的前一项的数列 按项的变 化趋势 递减数列 从第项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 摆动数列 [化解疑难] 在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出．例如，数列，…，.表示有穷数列．但是如果把数列写成，…，，…就表示无穷数列．

数列的通项公式 [提出问题]

问题：仍然观察“知识点一”中的个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？

提示：每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示．

[导入新知] 数列的通项公式

如果数列{}的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式．

[化解疑难]

．数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集{，…，}为定义域的函数解析式．

．同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．

*

含义 各项相等的数列 从第项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

数列的概念及分类 [例] 已知下列数列： ()；

()，－，－，－，…； ()，，，…，，…； ()，…；

()，－，…，π，….

其中，有穷数列是，无穷数列是，递增数列是，递减数列是，常数列是，摆动数列是．(填序号)

[解析] ()是常数列且是有穷数列； ()是无穷摆动数列； ()是无穷递增数列； ()是无穷递减数列； ()是无穷摆动数列．

[答案] () ()()()() () () () ()() [类题通法]

判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．而判断数列的单调性，则需要从第项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足<＋，则是递增数列；若满足>＋，则是递减数列；若满足＝＋，则是常数列；若与＋的大小不确定时，则是摆动数列．

[活学活用] 给出下列数列：

()～年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列. ()无穷多个构成数列，，，，….

()－的次幂，次幂，次幂，次幂，次幂……构成数列－，－，－，…. ()精确到，…的不足近似值与过剩近似值分别构成数列 ，…； ，….

分别指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列． 解：有穷数列：. 无穷数列：，，，，…； －，－，－，…； ，…； ，…. 递增数列：；

，….

递减数列：，…. 常数列：，，，，…. 摆动数列有：－，－，－，….

由数列的前几项求通项公式 [例] 写出下列数列的一个通项公式： ()，，，，，…； () ，…； ()，，，，…； ()－，，－，，….

[解] ()数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以它的一个通项公式为＝(∈)．

()各项加后，变为 ， ，…，此数列的通项公式为，可得原数列的通项公式为＝－. ()因为＝＋，＝＋，＝＋，＝＋，…， 所以该数列的一个通项公式为＝＋.

()这个数列的前项的绝对值都等于序号与序号加的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是＝(－).

[类题通法]

此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．这些方法的具体对象为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．

[活学活用]

写出下列数列的一个通项公式： ()，…； ()，－，－，…； ()，，，，…； () ，….

解：()观察数列中的数，可以看到＝－＝－＝－，＝－＝－，…，所以它的一个通项公式是＝－.

()数列各项的绝对值为，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为＝(－)(－)．

＋

*