线性代数讲义-01行列式

1x16. 求证: Dn??1x2?n?2x2nx21x3?nx3????11?11xnj?i???(xi?xj)?xk.

k?1nx1n?2x1n1?a117. 求证: Dn?n?2n?2x3?xnnxn11?a21?1???111?n?1?a1a2?an?1???ai?1i?1?11?a3????, 其中 ??1?ana1a2?an?0.

补充材料

一 拉普拉斯展开

前面是行列式按一行或一列展开. 这个结果可以推广为按若干行展开.

行列式中任意k行与k列交叉处的元素, 按照原来相对位置组成的k阶行列式称为原行列式的一个k阶子式Dk. 删除这k行与k列得到的n?k阶行列式Mk称为k阶子式Dk的余子式， 而Ak?(?1)Mk称为Dk代数余子式. 其中ih,jh是Dk所在的行标与列标. 命题 设|A|是n阶行列式, 任意取其中的k行,0?k?n, 则行列式等于这k行中所有k阶子式与其代数余子式的乘积之和.

h?(ih?jh)证明略.

注意 这个命题称为行列式的拉普拉斯展开. 展开时有Cn项, 每项是一个k阶子式与其代数余子式的乘积.

kaa?例1 求证：行列式D2n?bb?abba?b?aa22?(a?b)n(a?b)n.

b需结果.

证 按照第一行与第2n行展开， 得D2n?(a?b)D2(n?1). 用这个递推式即可得到所

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a11?例2 求证:

?????a1k?akk?ank0?0?an,k?1?????0?0?ann

ak1?an1ak?1,1?ak?1.kak?1,k?1?ak?1,na11?a1kak?1,k?1?ak?1,n??????? ak1?akkan,k?1?ann证 按照前k行展开.

注意 由于右上角的元素都等于0，左下角的元素对行列式没有贡献. 当然, 如果左下角的元素都等于0, 也有类似结果.

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