2二次函数图象与解析式 习题集A(2013-2014)-教师版

中考满分必做题

考点一：二次函数的定义

?考点说明：能识别二次函数即可，中考中直接考察的可能性较小

【例1】 下列函数是二次函数的是（ ）

A.y?3?2x2 B.y?x2?1 xC.y?(x?3)2?x2 D.y?x3?2x2?1

【答案】A

考点二：根据二次函数的定义确定参数的值

?考点说明：根据二次函数的定义反求参数，一般情况下会结合在综合题中处，也有可能以填空题的形式出现，考察点在二次项系数不为零

【例2】 函数y??a?2?xa2?2??a?3?x?a．当a?______，它为二次函数；当a?____，它为一次函数．

a?2；a??2 【答案】

【例3】 若函数y?(m?1)xm2?3m?2是二次函数，则m?______ 开口向下，则m?______

【答案】m?4

【例4】 若抛物线y?(m?1)xm2?m【答案】m??1

考点三：二次函数的对称轴

?考点说明：在求二次函数的对称轴时，根据解析式的不同，求法也不尽相同，并不仅仅只有x??一种求法，需灵活掌握，一般情况下，以选择、填空出现的可能性较大。

2【例5】 二次函数y??x的对称轴为_________

b的这2a13【答案】x?0或y轴

【例6】 二次函数y?1(x?1)2?2的对称轴是直线__________ 213【答案】x?1

【例7】 二次函数y?(x?1)(x?3)的对称轴为________

【答案】x??1

【例8】 二次函数y??(x?2)(x?4)?3的对称轴为________

【答案】x?3

【例9】 若二次函数y??x2?2(m?1)x?2m?m2的图象的对称轴为y轴，此图象的顶点A和它与x轴两个

交点BC所构成的三角形的面积是（ ）

A.

1 2B.1 C.

3 2D.2

【答案】B

【例10】 若二次函数y?ax2?c，当x取x1、x2（x1?x2）时，函数值相等，则当x取x1?x2时，函数值为

（ ） A.a?c 【答案】D

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B.a?c C.?c D.c

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5?，B?x2，5?是函数y?x2?2x?3上两点，则当x?x1?x2时， 【巩固】已知点A?x1，函数值y?___________．

【答案】3

【解析】由题意可知：A，B关于抛物线的对称轴对称，故x?x1?x2?2?∴当x?2时，y?4?4?3?3

【巩固】已知y?2x2?9x?34，当x取不同的值x1，x2时函数值相等，则当x?x1?x2时的值（ ） A.与x?1的函数相等． B.与x?0的函数相等．

19C.与x?的函数相等． D.与x??的函数相等．

44【答案】B

【解析】因为当x取不同的值x1，x2时函数值相等，所以x1与x2关于对称轴对称，所以对称轴可以表示为：

x?xx?xx?12．题目等价于求x轴上的横坐标为x?x1?x2的点关于对称轴x?12对称的点．

22【例11】 若二次函数y??x2?2x?k的部分图象，如图所示，则关于x的一元二次方程?x2?2x?k?0的一

?b?2， 2a个解为x1?3，另一个解为x2?_____

【答案】?1

y考点四：求二次函数的顶点坐标及最值

O13x?考点说明：与抛物线的对称轴一样，顶点坐标及最值也是经常结合综合题出，有很大的可能在选择填空题里出现,除了考察顶点坐标公式之外，最快的方法就是将对称轴代入抛物线的解析式求顶点坐标的纵坐标

【例12】 抛物线y??2(x?2)2?3的顶点坐标为_________

【答案】(2，3)

2【例13】 抛物线y?x?4x?9的顶点坐标为_________ 4【答案】(2，?25) 4【例14】 抛物线y?3(x?2)(x?6)的顶点坐标为__________

【答案】(?2，?48)

【例15】 将抛物线y?3x2?6x?5化成y?a(x?h)2?k的形式是_____________

y?3(x?1)2?2 【答案】

[备注：很多学生都喜欢按照配方法的过程去化抛物线的顶点式，此类方法中规中矩，但是缺少了一点灵活，比较间的方法就是完全可以求出抛物线的顶点坐标，然后直接按照顶点式来书写即可，如此题抛物线的顶点坐标为(1，2)且a?3，则抛物线的顶点式为y?3(x?1)2?2]

1314【答案】y?(x?1)2?

33【例16】 将抛物线y?(x?1)(x?3)化成顶点式___________

【例17】 已知二次函数y?x2?6x?m的最小值为1，则m?______

【答案】m?10

4ac?b2[备注：学生最喜欢的方法为令?1，然后代入数值求m的，此方法中规中矩。方法二，由

4a

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抛物线解析式可得对称轴为x?3，因此顶点坐标为(3，1)，将顶点坐标代入解析式可得m值]

【例18】 抛物线y?x2?2mx?m?2的顶点坐标在第三象限，则m的值为（ ）

A.m??1或m?2

【答案】D

A.有最大值2 【答案】C

B.m?0或m??1 C.?1?m?0 D.m??1

【例19】 已知矩形的长和宽分别为a、b，且矩形的周长为4，则该矩形的面积（ ）

B.有最小值2 C.有最大值1 D.有最小值1

【例20】 分别求出在下列条件下，函数y??2x2?3x?1的最值：

（1）x取任意实数；（2）当?2?x?0时；（3）当1?x?3时；⑷当?1?x?2时．

3?17317?【解析】（1）y??2?x???，∴当x?时，函数的最大值为，无最小值；

4?884?3（2）∵x?在?2?x?0右侧，∴当x?0时，函数取得最大值1；当x??2时，函数取得最小值?13；

43（3）∵x?在1?x?5左侧，∴当x?1时，函数取得最大值2；当x?3时，函数取得最小值?8；

4333317（4）∵?1??2，且?1???2，∴当x?时，函数取得最大值；当x??1时，函数取

44484得最小值?4．

2【巩固】设y?x2?ax?3?a，

（1）当x取任意实数时，y恒为非负数，求a的取值范围；

（2）当?2?x?2时，y的值恒为非负数，求实数a的取值范围．

【答案】（1）?6?a?2；（2）?7?a?2 【解析】（1）y?x2?ax?3?a?0恒成立，只需??a2?4?3?a??0，即a2?4a?12?0，∴?6?a?2．

a?a2?（2）y??x???3?a?．要使y?0在?2?x?2时恒成立，就是要使当?2?x?2时，y的最

2?4?小值为非负．

a①当???2，即a?4时，二次函数在x??2时取得最小值7?3a．

27由7?3a?0，得a?，这与a?4矛盾，此时a不存在．

3a2aa②当?2???2，即?4?a?4时，二次函数在x??时取得最小值3?a?．

4222a由3?a??0?a2?4a?12?0??6?a?2，

4结合?4?a?4可知，此时?4?a?2．

a③当??2，即a??4时，二次函数在x?2时取得最小值7?a．

2由7?a?0，得a??7，

结合a??4可知，此时?7?a??4． 综上所述，a的取值范围是?7?a?2．

2

考点五：二次函数与x轴的交点个数及两点间距离

?考点说明：抛物线与x轴的交点问题主要考查方向有两个。一是交点个数；二是交点之间的距离。

【例21】 二次函数y?x2?x?1因b2?4ac?______，故函数图象与x轴________交点

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【答案】?3；无

【例22】 抛物线y?x2?2x?3与x轴的交点坐标是___________

【答案】(?3，0)、(1，0)

【例23】 设A、B、C分别为抛物线y?12x2?25x?12与y轴的交点及与x轴的两个交点，则?ABC的面

积为__________

7【答案】

20)，则另一个交点的坐标是______，m?_____ 【例24】 若抛物线y?x2?2x?m与x轴的一个交点是(?2，【答案】(4，0)、m??8

【例25】 已知二次函数y?3x?x2?4

（1）求此函数图象的顶点A和其与y轴的交点B的坐标；

（2）求此图象与x轴的交点C和D的坐标（点C在点D的左侧） （3）求?ACD的面积

325125【答案】（1）A(，)、B(0，（2）C(?1，（3）S?ACD? 4)；0)、D(4，0)；

248【例26】 已知二次函数y?x2?kx?k?2

（1）求证：不论k为何实数，函数的图象与x轴总有两个交点 （2）k为何值时，这两个交点间的距离最小？求出最小值

【答案】（1）略；（2）d?x1?x2?(k?2)2?4，当k?2时，距离最小，最小值为2

考点六：二次函数的增减性

?考点说明：二次函数的增减性考察以选择为主，一般情况下还会涉及到二次函数的对称性

2【例27】 已知二次函数y??x?3x?125，当自变量取值x1、x2、x3，若x1?x2?x3，则对应的函数值y1、2C.y1?y2?y3

D.无法确定

y2、y3的大小关系是（ ）

A.y1?y2?y3 【答案】D

B.y2?y3?y1

2【例28】 已知二次函数y?x?2x?1315y1)、B(，y2)、C(，y3)，则y1、y2、y3三者之图象上三点A(?1，322C.y2?y1?y3

D.无法确定

间的大小关系是（ ）

A.y1?y2?y3

【答案】B

B.y2?y3?y1

【例29】 二次函数y?2x2?(m?1)x?2m?3中，已知当x?2时，函数值随自变量的增加而增加，则m的取

值范围是_____________

【答案】m?9

考点七：二次函数图象性质的综合考察

?考点说明：本类型题主要考查形式是选择和填空，考察学生对二次函数性质的理解，解决口诀：“一口二轴三顶点，交点之后再增减”，按照上述顺序，梳理一遍基本就能够解决此类问题。

2【例30】 已知二次函数y??m?2?x?2mx??3?m?的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的负

半轴，则m的取值范围是________

【答案】“一口二轴三顶点，交点之后再增减”的释义：

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