2020届高考数学(理)一轮复习讲义 2.5 指数与指数函数

1?x?1?x

(2)若不等式??a?＋?b?－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围． 解 (1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，

?b·a＝6，?所以?3

?b·a＝24.?

所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3. 所以f(x)＝3·2x.

1?x?1?x

?1?x＋?1?x

(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，?＋－m≥0恒成立，即m≤?2??3??2??3?在(－∞，1]上恒成立．

1?x?1?x在(－∞，1]上均为减函数，所以y＝?1?x＋?1?x在(－∞，1]上也是又因为y＝?与y＝?2??3??2??3?1?x?1?x55?－∞，5?. 减函数，所以当x＝1时，y＝?＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是6??2??3??66

??3x－1，x<1，13．(2018·呼和浩特调研)设函数f(x)＝?x则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是

?2，x≥1，?

( )

2?2

，1 B．[0,1] C.?，＋∞? D．[1，＋∞) A.??3??3?答案 C

解析 令f(a)＝t，则f(t)＝2t.

当t<1时，3t－1＝2t，令g(t)＝3t－1－2t，则g′(t)＝3－2tln 2，当t<1时，g′(t)>0，g(t)在 (－∞，1)上单调递增，即g(t)

2

当t≥1时，2t＝2t成立，由f(a)≥1，得a<1，且3a－1≥1，解得≤a<1；a≥1，且2a≥1，

3解得a≥1.

2

，＋∞?.故选C. 综上可得a的取值范围是??3?

14．若函数f(x)＝2|xa|(a∈R)满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)在区间[m，n]上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，若f(x)max－f(x)min＝3，则n－m的取值范围是______________． 答案 (0,4]

解析 因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝－1， 所以f(x)＝2|x1|.

作出函数y＝f(x)的图象如图所示．

－

＋

当m

－1

与y＝21x的性质知

－

极限值为0.当m<1

15．设f(x)＝|2x1－1|，af(c)，则2a＋2c______4.(选填“>”“<”“＝”) 答案 <

解析 f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1. 若c≤1，则2a<2,2c≤2，故2a＋2c<4； 若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a1>2c1－1， 即2c1＋2a1<2，即2a＋2c<4. 综上知，总有2a＋2c<4.

1λ

16．已知函数f(x)＝x－x－1＋4(－1≤x≤2)．

423

(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；

2

(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围． 1λ

解 (1)f(x)＝x－x－1＋4

42

1?2x

?1?x＋4(－1≤x≤2)． ＝?－2λ·?2??2?1?x12－2λt＋4?≤t≤2?. 设t＝?，得g(t)＝t?2??4?3

当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4

2371

t－?2＋?≤t≤2?. ＝??2?4?4?

1?53?3?＝7. 所以g(t)max＝g?＝，g(t)min＝g?4?16?2?4537所以f(x)max＝，f(x)min＝，

164753?故函数f(x)的值域为??4，16?. (2)方程f(x)＝0有解可转化为 11λ＝2·2x＋·x(－1≤x≤2)．

2211x?

≤2≤4， 设φ(x)＝2·2x＋x??2·2?21

当2x＝，即x＝－1时，φ(x)min＝2；

2当2x＝4，即x＝2时，φ(x)max＝652，?. ∴函数φ(x)的值域为?8??652，?. 故实数λ的取值范围是?8??

65

. 8

－

－

－

－

－