2020届高考数学(理)一轮复习讲义 2.5 指数与指数函数

即当f(x)有最大值3时，a的值为1.

思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( ) A．f(bx)≤f(cx) C．f(bx)>f(cx) 答案 A

解析 ∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)关于x＝1对称， 易知b＝2，c＝3，

当x＝0时，b0＝c0＝1，∴f(bx)＝f(cx)，

当x>0时，3x>2x>1，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(bx)

解析 易知f(x)＝2x－2x在R上为增函数，

－

－

B．f(bx)≥f(cx) D．与x有关，不确定

?7??9?，b＝???，则f(a)，f(b)的大小关系是__________． ?9??7??1415又a＝??7??9??9?＝???>??＝b， ?9??7??7??141415∴f(a)>f(b)．

(3)若不等式1＋2x＋4x·a≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是____________． 3

－，＋∞? 答案 ??4?

解析 从已知不等式中分离出实数a，

?1?x＋?1?x?.∵函数y＝?1?x＋?1?x在R上是减函数，∴当x∈(－∞，1]时，?1?x＋?1?得a≥－???4??2???4??2??4??2?x

113?1?x＋?1?x?≤－3. ≥＋＝，从而得－???4??2??4244

3

－，＋∞?. 故实数a的取值范围为??4?

1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( ) A．a

解析 因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.51，所以b

2．已知函数f(x)＝5x，若f(a＋b)＝3，则f(a)·f(b)等于( ) A．3 B．4 C．5 D．25 答案 A

解析 ∵f(x)＝5x，∴f(a＋b)＝5ab＝3，∴f(a)·f(b)＝5a×5b＝5ab＝3.故选A. 3．(2018·大连模拟)已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1

B．0

＋

＋

答案 C

解析 ∵当x>0时，11. a?x

∵当x>0时，bx0时，??b?>1. a

∴>1，∴a>b，∴1

4．已知f(x)＝3xb(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( ) A．[9,81] B．[3,9] C．[1,9] D．[1，＋∞) 答案 C

解析 由f(x)过定点(2,1)可知b＝2， 因为f(x)＝3x

－2

－

在[2,4]上是增函数，

f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9. 故选C.

1－

5．若函数f(x)＝a|2x4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )

9A．(－∞，2] C．[－2，＋∞) 答案 B

11

解析 由f(1)＝，得a2＝，

99

1?|2x－4|11

所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝?. ?3?33

由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.

1?x??－?，a≤x<0，2??6．已知函数f(x)＝?的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是( )

??－x2＋2x，0≤x≤4A．(－∞，－3] B．[－3,0) C．[－3，－1] D．{－3} 答案 B

11

－a，－1?，所以?－a，－1? 解析 当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x<0时，f(x)∈??2??2?1

[－8,1]，即－8≤－a<－1，即－3≤a<0.所以实数a的取值范围是[－3，0)．

2

1?x1

7．若“m>a”是“函数f(x)＝?＋m－的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数?3?3a能取的最大整数为________． 答案 －1

B．[2，＋∞) D．(－∞，－2]

222

解析 f(0)＝m＋，∴函数f(x)的图象不过第三象限等价于m＋≥0，即m≥－，∵“m>a”

33322

是“m≥－”的必要不充分条件，∴a<－，则实数a能取的最大整数为－1.

33

21?x＋4

8．不等式2－x＋2x>??2?的解集为________．

答案 (－1,4)

解析 原不等式等价于2－x＋2x>2

2－x－4

，

又函数y＝2x为增函数，∴－x2＋2x>－x－4， 即x2－3x－4<0，∴－1

9．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案 (－1,2)

1?x解析 原不等式变形为m2－m

1?x

2

当x∈(－∞，－1]时，m2－m

??f?x?，x≥0，1

10．已知函数f(x)＝2－x，函数g(x)＝?则函数g(x)的最小值是________．

2?f?－x?，x<0，?

x

答案 0

1

解析 当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－x为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝

211－

f(－x)＝2x－－x＝x－2x为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，

22所以函数g(x)的最小值是0.

1?x－1?1?x

11．已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y＝??4?－4?2?＋2的最大值和最小值． 解 由9x－10·3x＋9≤0，得(3x－1)(3x－9)≤0， 解得1≤3x≤9，即0≤x≤2.

1?x112－4t＋2＝4?t－?2＋1. 令?＝t，则≤t≤1，y＝4t?2??2?41

当t＝，即x＝1时，ymin＝1；

2当t＝1，即x＝0时，ymax＝2.

12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)． (1)求f(x)的表达式；