2020届高考数学(理)一轮复习讲义 2.5 指数与指数函数

A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0

－b

－b

的图象可以观察出，函数f(x)＝ax

－b

在定义域上单调递减，所以0

的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( ) A．a<0，b<0，c<0 C．2a<2c 答案 D

解析 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，

－

B．a<0，b≥0，c>0 D．2a＋2c<2

∵af(c)>f(b)，结合图象知， 00， ∴0<2a<1.

∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1， ∴f(c)<1，∴0

∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1， 又∵f(a)>f(c)， ∴1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2，故选D.

思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

跟踪训练1 (1)已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式： ①0

解析 如图，观察易知，a，b的关系为a

(2)方程2x＝2－x的解的个数是________． 答案 1

解析 方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．

由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．

题型三 指数函数的性质及应用

命题点1 比较指数式的大小

例2 (1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( ) A．b

44????解析 由a15＝?23?＝220，b15＝?25?＝212，c15＝255>220，可知b15

????13432513B．a

1515(2)若－1”连接)

a

答案 3a>a3>a 解析 易知3>0，aa

1313<0，a3<0，又由－1

a

0<－a<1，所以(－a)3<

??a?13，即－a3<

－a，所以

13a3>a，因此3

13>a3>a.

13命题点2 解简单的指数方程或不等式

x??4，x≥0，

例3 (1)(2018·包头模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝?a－x若f(1－a)＝f(a－1)，则a

?2，x<0，?

的值为______． 1

答案 2

1－

解析 当a<1时，41a＝21，解得a＝；

21

当a>1时，代入不成立．故a的值为. 2

(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________________． 答案 {x|x>4或x<0} 解析 ∵f(x)为偶函数，

当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2x－4，

x??2－4，x≥0，

∴f(x)＝?－x

?2－4，x<0，?

－

???x－2≥0，?x－2<0，

?当f(x－2)>0时，有x－2或?－x＋2 ?2－4>0?－4>0，??2

解得x>4或x<0.

∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}． 命题点3 指数函数性质的综合应用 例4 (1)已知函数f(x)＝2|2x围是________． 答案 (－∞，4]

mm

，＋∞?上单调递增，在区间?－∞，?上单调递解析 令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间?2??2??减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]． (2)函数f(x)＝4x－2x答案 [0，＋∞)

解析 设t＝2x(t>0)，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增， 所以函数f(x)＝4x－2x(3)若函数f(x)＝??答案 1

1?h(x)

解析 令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝??3?，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1， a>0，??

因此必有?12a－16解得a＝1，

??4a＝－1，

＋1＋1

－m|

－m|

(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范

m

在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，

2

的单调增区间是________．

的单调增区间是[0，＋∞)．

有最大值3，则a＝________.

?1??3?ax2－4x＋3