河北省衡水中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学(理)试题含答案

试卷答案

一、选择题

1-5: BDCAB 6-10: AADBD 11、12：AA 二、填空题 13.33 14. 86? 15.23? 16.①③④三、解答题

17.解：（Ⅰ）∵AB是底面圆的直径， ∴AC?BC. ∵弧BC的中点为D， ∴OD?BC. 又AC,OD共面， ∴AC//OD.

又AC?平面POD,OD?平面POD， ∴AC//平面POD.

（Ⅱ）设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l， ∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形， ∴h?1,l?2r

由S1?ABP=2?2r?h?r2?9，得r?3，

∴S表?mrl??r2??r?2r??r2?9(1?2)?，

V?1?r23h?9?.

18.解：（Ⅰ）由题可知ABM?DCP是底面为直角三角形的直棱柱，

?AD?平面MAB

又MA?平面MAB，?AD?MA ，

又MA?AB，ADAB?A , AD，AB?平面ABCD，

?MA?平面ABCD，

又BD?平面ABCD，

?MA?BD .

又AB?AD，?四边形ABCD为正方形，

?BD?AC，

又MAAC?A , MA，AC?平面MAC，

?BD?平面MAC. …………………6分

（Ⅱ）设刍童ABCD?A1B1C1D1的高为h， 则三棱锥A?A1B1D1体积V?1?1?2?22332?h?3，

∴h?3，

故该组合体的体积为V?1?1?3?1?1(12?22?12?2237317323)?3?2?3?6.

19.解：（Ⅰ）因为折起前AD是BC边上的高， 则当?ABD折起后，

AD?CD,AD?BD，

又CDBD?D，

则AD?平面BCD， 因为AD?平面ABD， 所以平面ABD?平面BCD.

（Ⅱ）如图，取CD的中点F，连接EF，

则EF//BD，

所以?AEF为异面直线AE与BD所成的角（或补角）. 连接EF?1,AD?23,CD?6,DF?3，

在Rt?ADF中， AF?AD2?DF2?21， 在?BCD中，因为AD?CD,AD?BD， 所以?BDC为二面角B?AD?C的平面角， 故?BDC?60?，

则BC2?BD2?CD2?2BD?CDcos?BDC?28， 即BC?27，

从而BE?12BC?7，

BD2?BC2?CD2cos?CBD?12BD?BC??27， 在?BDE中，

DE2?BD2?BE2?2BD?BE?BDC?13，

在Rt?ADE中，AE?AD2?DE2?5 ，

在?AEF中， cos?AEF?AE2?EF2?AF22AE?EF?12 ， 所以异面直线AE与BD所成的角为60?. 20.解：（Ⅰ）连接AD1，

在长方体ABCD?A1BC11D1中，

AB//DC11,AB?DC11，

∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1//BC1. ∵E,F分别是AD,DD1的中点， ∴AD1//EF，则EF//BC1，

又EF?平面A1BC1,BC1?平面A1BC1A，

则EF//平面A1BC1. 同理FG//平面A1BC1. 又EFFG?F，

∴平面EFG//平面A1BC1. （Ⅱ）

∵V111040ABCD?A1C1D1?VABCD?A1B1C1D1?VB?A1B1C1?2?2?AA1?3?2?2?2?AA1?3AA1?3，∴AA1?4．

（Ⅲ）在平面CC1D1D中作DQ1?C1D交CC1于Q， 过Q作QP//CB交BC1于点P， 点P即为所求的点. 证明如下：

∵A1D1⊥平面CC1D1D,C1D?平面CC1D1D， ∴C1D?A1D1， 又QP//CB,CB//A1D1，

∴QP//A1D1， 又∵A1D1DQ1?D1， ∴C1D?平面A1PQD1， 又A1P?平面A1PQD1， ∴A1P?C1D．

∵Rt?DC11Q∽Rt?C1CD， ∴

C1QD1C1CD?C， 1C∴C1Q?1.

又∵PQ//BC，∴PQ?114BC?2． ∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高DQ1?5，2∴A?1?291P???2?2???5?2.

21.解：（Ⅰ）取AB的中点E，连接DE,SE， 则四边形BCDE为矩形， 所以DE?CB?2，

所以AD?DE2?AE2?5，

因为侧面SAB为等边三角形， AB?2 ，

所以SA?SB?AB?2，且SE?3， 又因为SD?1，

所以SA2?SD2?AD2,SE2?SD2?ED2， 所以SD?SA,SD?SE.

又SASE?S， 所以SD?平面SAB. （Ⅱ）

过点S作SG⊥DE于点G， 因为AB?SE,AB?DE,SEDE?E，

所以AB?平面SDE.

又AB?平面ABCD， 由平面与平面垂直的性质， 知SG?平面ABCD，

在Rt?DSE中，由SD·SE?DE·SG， 得1?3?2SG， 所以SG?32. 过点A作AH?平面SBC于H，连接BH，则?ABH即为AB与平面SBC所成的角， 因为CD//AB,AB?平面SDE， 所以CD?平面SDE，

又SD?平面SDE， 所以CD?SD.

在Rt?CDS中，由CD?SD?1， 求得SC?2. 在?SBC中，SB?BC?2,SC?2， 2所以S?1?2?22?2?7?SBC2???， ?2????2由VA?SBC?VS?ABC，

得13S?SBC·AH?13S?ABC·SG， 即13?72?AH?13?12?2?2?32， 解得AH?2217， 所以sin?ABH?AH21AB?7， 故AB与平面SBC所成角的正弦值为

217. 22. 解：（Ⅰ）∵AD?平面A1BC,BC?平面A1BC，∴AD?BC．

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1A?平面ABC， ∴A1A?BC， ∵A1AAD?A，

∴BC?平面AA1B1B， ∵A1B?平面AA1B1B， ∴BC?A1B．

（Ⅱ）设PC?x，过点B作BE?AC交AC于点E，由（Ⅰ）知，BC?平面AA1B1B，∴BC?AB，

∵AB?BC?2，∴AC?22，BE?2，

∴S1?PBC?2BE·PC?22x. ∵AD?平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上， ∴AD?A1B，∴BD?AB2?AD2?1. 又∵A1A?AB．∴Rt?ABD∽Rt?A1BA， ∴

BDADAB?AA，∴AA1?23. 1∴V16A1?PBC?3S?PBC?AA1?3x.

又三棱锥A1?PBC的体积为33， ∴

633x?3， 解得x?22，即PC?22，

∴

32，∴AP?3.

AP?2PC