Hermite矩阵与反Hermite矩阵

(l-m)yHx=0

由于l1m，故x与y正交.

定理4-8 设A、B都是Hermite矩阵或都是反Hermite矩阵，则 （ⅰ）AB+BA为Hermite矩阵； （ⅱ）AB-BA为反Hermite矩阵.

证明 （ⅰ）设A、B都是Hermite矩阵，即AH=A，BH=B，则

AB+BA=AHBH+BHAH

=(BA)+(AB)

HH=(BA+AB)

即AB+BA为Hermite矩阵；

同理可证当A、B都是反Hermite矩阵时AB+BA为Hermite矩阵.

（ⅱ）当A、B都是Hermite矩阵，即AH=A，BH=B，则

HAB-BA=AHBH-BHAH=(BA)-(AB)

=(BA-即AB-BA是反Hermite矩阵；

同理可证当A、B都是反Hermite矩阵时AB-BA为反Hermite矩阵.

定理4-9 若A、B都是反Hermite矩阵，则AB为Hermite矩阵的充分必要条件是AB=BA，即A、B可交换.

证明 因为A、B都是反Hermite矩阵，则A=-AH，B=-BH. 必要性 由AB=BA，得

HHA)B=-(AB-B)A

HHAB=BA=(-BH)(-AH)=(AB)

H所以AB为Hermite矩阵；

充分性 因为AB为Hermite矩阵，则

HHAB=(AB)=轾-A-B()()=BA 犏臌HH即A、B可交换.

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推论5 若A为Hermite矩阵，B为反Hermite矩阵，则AB为反Hermite矩阵的充分必要条件是AB=BA.

B为反Hermite矩阵，B=-BH. 证明 因为A为Hermite矩阵，则A=AH，必要性 由AB=BA，得

AB=BA=(-BH)(AH)=-(AB)

H所以AB为反Hermite矩阵；

充分性 因为AB为反Hermite矩阵，则

AB=-(AB)=-(BH)(AH)=BA

H从而AB=BA.

五、结论

作为一个矩阵，Hermite矩阵在矩阵理论中地位不言而喻，本文对Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义，性质，基本定理以及Hermite的正定性做了初略地归纳总结，并通过一些证明来更好的理解定理，以此来达到更完整的认识和学习Hermite矩阵.当然，对于Hermite矩阵和反Hermite矩阵，其内容永不止如此，这些都有待进一步的研究.

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参考文献

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致 谢

本论文是在我的指导老师戴立辉教授悉心指导下完成的，他渊博的专业知识，严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，朴实无华、平易近人的人格魅力深深地感染和激励着我。无论是在理论学习阶段，还是在论文的选题、资料查询、开题、研究和撰写的每一个环节，直到论文的最终完成，戴老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，在此，谨向戴老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！

此外，我还要特别感谢各位老师和同学在这四年对我的关心和帮助，因为有他们的支持，我才能顺利完成该论文。

最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位老师表示感谢！

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