2012吉林第29届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

第29届复赛试卷及答案

（18）由（17）和（18）式得

J?mv0(1?2cos2?)

（19） 由（13）和（19）

式得

v0sin? （20） l球A若先于球B与挡板发生碰撞，则在球C与挡板碰撞后，整个系统至少应绕质心转过???角，即杆AB至少转到沿y方向，如图2所示. 系统绕质心转过???所需时间

1?2 t? （21）

???在此时间内质心沿x方向向右移动的距离

?x?vPxt （22） 若

yP??x?xP （23） 则球B先于球

、（6）、（14）、（16）、（18）、（21）、（22）和（23）式得 A与挡板碰撞. 由（5）

??arctan3 （24） 1??即

??36? (25)

四、评分标准： 本题25分.（1）、（2）、（11）、（12）、（19）、（20）式各3分，（21）式1分，（22）、（23）式各2分.(24)或(25)式2分.

解法二

如图1所示，建直角坐标系Oxy，x轴与挡板垂直，y轴与挡板重合，y 以vAx、vAy、vBx、vBy、vCx和 vCy分别表示球C与挡板刚碰撞后A、B和

C三球速度的分量，根据题意有

vCx?0 （1）

以J表示挡板作用于球C的冲量的大小，其方向沿x轴的负方向，根据质点组的动量定理有

?J?m （2） vAx?mvBx3?mv 0 0?mvAy?mvBy?mvCy （3） 以坐标原点O为参考点，根据质点组的角动量定理有

vAy A vByB vAx?P vBx O x vCy CC Jlsin??mvAy?lcos??lcos???mvBylcos??mv0lsin? （4） 因为连结小球的杆都是刚性的，故小球沿连结杆的速度分量相等，故有 图1

vAx?vBx

（5） vCysin??vBysin??vBxcos? （6）

vAxcos??vAysin???vCysin? （7）

（7）式中?为杆AB与连线AC的夹角. 由几何关系有

cos??sin??2cos?1?3cos?sin?2 （8） （9）

1?3cos?2解以上各式得

J?mv0(1?2cos2?) （10）

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第29届复赛试卷及答案

vAx?v0sin2? （11）

vAy?v0sin?cos? （12）

vBx?v0sin2? （13） vBy?0 （14）

vCy??v0sin?cos? （15）

按题意，自球C与挡板碰撞结束到球A (也可能球B)碰撞挡板墙前，整个系统不受外力作用，系统的质心作匀速直线运动. 若以质心为参考系，则相对质心参考系，质心是静止不动的，A、B和C三球构成的刚性系统相对质心的运动是绕质心的转动. 为了求出转动角速度，可考察球B相对质心的速度.由(11)到(15)各式，在球C与挡板碰撞刚结束时系统质心P的速度

mvAx?mvBx?mvCx2vPx??v0sin2? （16）

3m3mvAy?mvBy?mvCyvPy??0 （17）

3m这时系统质心的坐标为

xP??lco?s （18）

1yP??lsin? （19）

3不难看出，此时质心P正好在球B的正下方，至球B的距离为yP，而球B相对质心的速度

12vBPy?0 （21） vBPx?vB? vsinxvP?x0? （20） 3可见此时球B的速度正好垂直BP，故整个系统对质心转动的角速度

??vBPx?v0sin? （22）

yPl若使球A先于球B与挡板发生碰撞，则在球C与挡板碰撞后，整个系统至少应绕质心转过π/2角，即杆AB至少转到沿y方向，如图2所示. 系统绕质心转过π/2所需时间

1π2

t?y A O P B x ?（23）

在此时间内质心沿x方向向右移动的距离

?x?vPxt （24） 若

yP??x?xP （25） 则球B先于球

C 3 ??arctan （26）

1??图2

即

??36? (27)

评分标准：

本题25分. （2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式各2分，（10）、（22）式各3分，（23）式1分，（24）、（25）式各2分，（26）或(27)式2分.

四、解： 参考解答：

1．虚线小方框内2n个平行板电容器每两个并联后再串联，其电路的等效电容Ct1满足下式

A与挡板碰撞. 由以上有关各式得

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第29届复赛试卷及答案

1?n （1）

Ct12C即

Ct1?式中

C?2C （2） nS （3） 4?kd虚线大方框中无限网络的等效电容Ct2满足下式

1C?2??1?14C?18C??????? t2?2C即

CCt2?2 （5） 整个电容网络的等效电容为

CCtC1t22Ct?Ct1?C?n?4 t2等效电容器带的电量（即与电池正极连接的电容器极板上电量之和）

qS?t?Ct??(n?4)2?kd

当电容器a两极板的距离变为2d后，2n个平行板电容器联成的网络的等效电容Ct1?满足下式 1?n?1C?C?23C （8）

t12由此得

C?6Ct1?3n?1 整个电容网络的等效电容为

CC?tC1t26Ct??Ct?1?C?t23n?13 （10）

整个电容网络的等效电容器带的电荷量为

qS?t??Ct???3(3n?13)2?kd （11）

在电容器a两极板的距离由d变为2d后，等效电容器所带电荷量的改变为 ?qt?qt??qS?t??(3n?13)(n?4)2?kd （12）

电容器储能变化为

?U?1S?22?Ct??2?Ct?2???2(3n?13)(n?4)2?kd （13）

在此过程中，电池所做的功为

A??q??S?2t?(3n?13)(n?4)2?kd （14）

外力所做的功为

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4） 6） 7）

9） （ （ （ （第29届复赛试卷及答案

A???U?A?S?2 （15）

2(3n?13)(n?4)2?kd

2.设金属薄板插入到电容器a后，a的左极板所带电荷量为q?，金属薄板左侧带电荷量为?q?，右侧带电荷量为(q??Q)，a的右极板带电荷量为?(q??Q)，与a并联的电容器左右两极板带电荷量分别为q??和?q??.由于电容器a和与其并联的电容器两极板电压相同，所以有

q??q?(q??Q)?? （16）

SSC4?kx4?k(2d?x)由（2）式和上式得

2d?x q??q???3q??Q （17）

d上式表示电容器a左极板和与其并联的电容器左极板所带电荷量的总和，也是虚线大方框中无限网络的等效电容Ct2所带电荷量（即与电池正极连接的电容器的极板上电荷量之和）. 整个电容网络两端的电压等于电池的电动势，即

???????? q?q?(n?1)q?q?q?? （18）

ct22CC将（2）、（5）和（17）式代入（18）式得电容器a左极板带电荷量 q??

评分标准：

本题21分. 第1问13分，（2）式1分，（5）式2分，（6）、（7）、（10）、（11）、（12）式各1分，（13）式2分,（14）式1分，（15）式2分.

第2问8分，（16）、（17）、（18）、（19）式各2分.

五、解： 参考解答:

c a 如图1所示，当长直金属杆在ab位置以速度v水平向右滑动到时，

因切割磁力线，在金属杆中产生由b指向a的感应电动势的大小为

??BLv （1）

l1 l2 式中L为金属杆在ab位置时与大圆环两接触点间的长度，由几何关系有 I I1 I2 2?R1?2 L?2R1????2R1 （2）

?100?在金属杆由ab位置滑动到cd位置过程中，金属杆与大圆环接触的两

d 点之间的长度L可视为不变，近似为2R1.将（2）式代入（1）式得，在金属杆由ab滑动到cd过程中感应电动势大小始终为 b ??2BR1v 图 1 （3）

以I、I1和I2分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，方向如图1所示，以Uab表示a、b两端的电压，由欧姆定律有

Uab?I1l1r0 （4） Uab?I2l2r0 （5）

式中，l1和l2分别为金属杆左、右圆弧的弧长.根据提示，l1和l2中的电流在圆心处产生的磁感应强度的大小分别为

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S?(n?5)(2d?x)?Q （19）

(3n?13)2?kd(3n?13)d