2018广州高三二模数学试题及答案(理科)

∵PEAB?E,PE?平面PAB, AB?平面PAB,

z∴BC?平面PAB. …4分 连接EC,

P在Rt△PEA和Rt△PEC中,PA?PC?2,PE?PE, ∴Rt△PEA?Rt△PEC. ∴EA?EC.

∴?ECA??EAC?30.

A?yC∴?CEB?60.

E?BC13在Rt△CBE中，EB?. ??tan60?33∴AE?AB?EB?Bx图523. 3在Rt△PEA中，PE?PA2?AE2?26. …6分 3以点E为原点,EB所在直线为x轴,与BC平行的直线为y轴,EP所在直线为z轴,建立空

?23??3??3?,0,0?间直角坐标系E?xyz,则E?0,0,0?,A????,B??3,0,0??,C??3,1,0??, 3???????26?P?0,0,. ???3???26?∴BC??0,1,0?,EP??0,0,???,AC?3??(1)∵cosBC,PC???326?3,1,0,PC???3,1,?3??.

???BCPCBCPC?1, 2 ∴BC,PC?30.

∴ 直线PC与平面PAB所成的角为30. …9分 (2) 设平面PAC的法向量为n??x,y,z?,

???3x?y?0,?nAC?0,?? 由? 得?3 26x?y?z?0.???nPC?0.3?3 令x?1, 得y??3,z??2. 2 ∴n??1,?3,????2?为平面PAC的一个法向量. ??2??26? ∵EP??0,0,???为平面ABC的一个法向量, 3?? ∴cosn,EP?1??.

3nEPnEP ∵二面角P?AC?B的平面角为锐角, ∴二面角P?AC?B的平面角的余弦值为18. （本小题满分14分）

(本小题主要考查古典概型、二项分布等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理

能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意设p?∴ p?1. …12分 3k(k为常数),由于s?15?t?1??0?t?4?, sk?0?t?4?. …2分

15?t?1?44k, 则?,解得k?18. 5515??0.5?1?当t?0.5时, p1?∴p?186??0?t?4?. …4分

15?t?1?5?t?1?63?. 5?253. …6分 5当t?1时, p2?∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为

(2) 解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件A，“该运动员第二次射击命中飞碟”为事 件B，则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件：A?AB. …7分 ∵P?A??43,P?B??， 55 ∴PA?AB?P?A??PAP?B?

?????4?4?323. ??1????5?5?52523. …10分 25 ∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为

(3) 解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为?, 则?23??B?3,?.

25?? ∴至少命中两个飞碟的概率为P?P???2??P???3? …12分

3 ?C3p?1?p?+ C33p

222?23??23? ?3?????? ??25?25?25? ?19. （本小题满分14分）

(本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:设点A、B的坐标分别为?x1,y1?、?x2,y2?， ∵ l1、l2分别是抛物线C在点A、B处的切线， ∴直线l1的斜率k1?y'∵ l1?l2,

∴ k1k2??1, 得x1x2??p2. ① …2分 ∵A、B是抛物线C上的点,

2x12x2∴ y1?,y2?.

2p2p2x12x1x2x∴ 直线l1的方程为y???x?x1?,直线l2的方程为y??2?x?x2?.

2pp2pp2315341. …14分

15625x1'，直线的斜率l?k?y2x?x12px2. x?x2?p?x12x1x1?x2?x?,?y?2p?p?x?x1?,???2由? 解得 ?2?y?x2?x2?x?x?,?y??p.2???22pp?∴点D的纵坐标为?p. …4分 2(2) 证法1：∵ F为抛物线C的焦点， ∴ F??p??0,2??. ypx21?1? ∴ 直线AF的斜率为k22p?p2x21?p2AFx0?x?， 1?12px1ypx22 直线BF的斜率为kBF?2?22p?p2x2?p2x?0?x?2. 222px2∵ k?x2?p2x2p2AF?k12?BF2px? 12px2 ?x?x22?x21?p2??x12?p2?2px1x

2 ?x1x2?x1?x2??p2?x1?x2?2pxx

12 ??p2?x1?x2??p2?x1?x2?2px

1x2 ?0. ∴kAF?kBF.

∴A、B、F三点共线. 证法2：∵ F为抛物线C的焦点， ∴ F??0,p??2??. ?px2 ∴AF????x,1??p2?x21?12?2p??????x1,2p?，

? BF????xpx22??p2?x22??2,2?2p????x2,??2p?. ?…6分 …8分