18.4 线性回归方程及应用

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18．4 线性回归方程及应用

【知识网络】

1． 能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变

量间的相关关系。

2． 了解线性回归的方法；了解用最小二乘法研究两个变量的线性相关问题的思想方法；会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（不要求记忆系数公式）。 【典型例题】

[例1]（1）为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都分别相等，且值为s与t，那么下列说法正确的是 （ ） A．直线l1和l2一定有公共点(s，t) B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)

C．必有直线l1∥l2

D．直线l1和l2必定重合

?=50+80x，下列判断正确（2）工人工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y的是 A．劳动生产率为1000元时，工资为130元 B．劳动生产率提高1000元时，工资提高80元 C．劳动生产率提高1000元时，工资提高130元 D．当月工资250元时，劳动生产率为2000元 （3）下列命题：

①任何两个变量都具有相关关系；

②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；

③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系；

（ ）

④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；

⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究。

其中正确的命题为 A．①③④ B。②④⑤

C。③④⑤

D。②③⑤

（

）

（4）一家保险公司调查其总公司营业部的加班程度，收集了10周中每周加班工作时间y（小时）与签发新保单数目x的数据如下表，则用最小二乘法估计求出的线性回归方程是___________。

x y 825 215 1070 550 480 920 1350 325 670 1215 3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0 （5）上题中，若该公司预计下周签发新保单1000张，则需要加班的时间是 。

[例2] 已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下： ｘ

[例3]要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩（如下表）： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 入学成绩x 高一期末 成绩y 63 65 67 78 45 52 88 82 81 92 71 89 52 73 99 98 58 56 76 75 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50 y 6.53 6.30 9.25 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 7.72 其中x（血球体积，ｍｍ），y（血红球数，百万）. ①画出上表的散点图；

②求出回归直线并且画出图形。

（1）计算入学成绩（x）与高一期末考试成绩（y）的相关关系； （2）若某学生入学数学成绩80分，试估计他高一期末数学考试成绩．

[例4]下表是采集的商品零售额（万元）与商品流通费率的一组数据：

商品零售额 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 19.5 21.5 23.5 25.5 27.5 商品流通费率 6.0 4.6 4.0 3.2 2.8 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 （1）将商品零售额作为横坐标，商品流通费率作为纵坐标，在平面直角坐标系内作出散点图；

（2）商品零售额与商品流通费率具有线性相关关系吗？如果商品零售额是20万元，那么能否预测此时流通费率是多少呢？

【课内练习】

1． 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系 A．角度和它的余弦值 B。正方形边长和面积

C．正ｎ边形的边数和它的内角和

D。人的年龄和身高

2． 下列变量之间的关系是函数关系的是

（ ）

（ ）

A．已知二次函数y?ax2?bx?c，其中a，c是已知常数，取b为自变量，因变量

是这个函数的判别式??b2?4ac

B．光照时间和果树的亩产量 C．降雪量和交通事故发生率

（

）

D．每亩用肥料量和粮食亩产量 3． 下列命题叙述正确的是

A．任何两个变量都可以用一元线性回归关系进行合理的描述

B．只能采用最小二乘法对一元线性回归模型进行参数估计

C．对于一个样本，用最小二乘法估计得到的一元线性回归方程参数估计值是唯一的 D．任何两个相关关系的变量经过变换后都可以化为一元线性回归关系

??a?bx?，现将y的单位由cm变为m，4． 设线性回归直线方程yx的单位由ms变为s，

则在新的线性回归直线方程y?a??b?x中，

A．b??0.1b B．b??b C．b??10b

（ ）

D．b??100b

??250?5x?，当施肥量为80Kg时，5． 若施肥量x与水稻产量y的线性回归直线方程y预计水稻产量为___________．

6． 某保险公司收集了10周中工作的加班时间y与签订新保单数目x，用最小二乘法求出

??0.12?0.0036x?．若公司预签订新保单1000张，估计需加班 线性回归方程为y_________小时．

7． 如果你想作一个反对抽烟的电视公益广告的播放次数与看电视的中学生戒烟率的数据散点图，作为x轴的变量应为 。

8． 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：

施化肥量x 15 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455 水稻产量y 330 试求出回归直线方程

9．在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表：

x y 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 467 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 求腐蚀深度y对腐蚀时间x的回归直线方程，并解释回归系数的意义．

10．某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病的人数如下表所示：

年份 该年新发病的人数 1996年 1997年 1998年 1999年 2400 2491 2586 2684 如果不加控制，仍按这个趋势发展下去，请预测从2000年初到2003年底的四年里，该地区这种病的新发病人数总共多少？