复变函数与积分变换测验题8参考答案

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第八章 拉普拉斯变换

一.填空题

1．给出常见函数的拉氏变换：L[u(t)]?

?01 （其中单位阶跃函数u(t)??s?1t?0t?0）；

1ks ；L[sinkt]? 2； ； L[coskt]?222s?ks?ks?k2．积分

?????cost??(t)e?stdt? 1 ；函数cost??(t)的拉氏变换

??0L[cost?δ(t)]??cost??(t)e?stdt? 1 ；

注：单位脉冲函数的筛选性质

3.若函数f1(t),f2(t)满足条件：当t?0时，f1(t)?f2(t)?0，则卷积f1(t)?f2(t)?

?t0f1(?)f2(t??)d?

tt4．在区间[0,??)上计算卷积t?e? e?t?1 ；

5．给出拉氏变换的微分，积分性质：若L[f(t)]?F(s),则L[f\(t)]?

sF(s)?sf(0)?f'(0) ；L[?f(t)dt]? 02tF(s) ； s二．选择题

1）设f?t??eu?t?1?,则L[f(t)]?（ B ）.

?t?s?1?s?1e?se?se??e??A． B. C. D.

s?1s?1s?1s?12）根据拉氏变换的延迟性质（设L[f(t)]?F(s),则L[f(t?t0)]?e?st0F(s))，判断函数

f(t)?(t?a)u(t?a)的拉氏变换L[f(t)]?（ D ）

ease?as11 A．2 B. C. D. 2 22ss?s?a??s?a?

1

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4.计算题

（1）利用留数定理计算F?s??1?s2?4?2的拉普拉斯逆变换，并查表来验证其结论。

解：利用定理3.1 。

1(sin2t?2tcos2t) 16（2）已 知 g(t)的 Laplace 变 换 L[g(t)]?t11?s2，求方程

?t0g(t??)f(?)d??sint的解f(t)

解：等式两端取拉氏变换。注意：

?0g(t??)f(?)d??g(t)*f(t)卷积

（3）求方程y'''?3y\?3y'?y?1,y(0)?y'(0)?y\(0)?0，的解y(t)。

??解：令 L[y(t)]?Y(s) ，L[1]??01?e?stdt?1 s方程两端取拉氏变换，得Ly'''?3y\?3y'?y?L[1]

利用线性性质，得 L[y''']?3L[y\]?3L[y']?L[y]?L[1] 利用微分性质，得

sY(s)?sy(0)?sy'(0)?y\(0)?3sY(s)?sy(0)?y'(0)?3?sY(s)?y(0)??Y(s)?322????1 s利用初始条件，得

1s3Y(s)?3s2Y(s)?3sY(s)?Y(s)?

sY(s)?1 Y(s)具有一级极点s1?0，三级极点s2??1

s(s?1)3stst取拉氏逆变换得， y(t)?Res[Y(s)e,0]?Res[Y(s)e,?1]

est利用准则I，得 Res[Y(s)e,0]?lims?1 3s?0s(s?1)st 2

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利用准则II，得 Res[Y(s)e,?1]??st12?tte?te?t?e?t 212?tte?te?t?e?t 2所以，微分方程的解 y(t)?Res[Y(s)est,0]?Res[Y(s)est,?1]?1? 3