湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含解析

?2?a?0时，F?x?极大a2?a??a??F??? ?a??aln???，F?x?极小?F?1??a?1；

4?2??2?a??2时，F?x?没有极值；

a??2时，F?x?极大?f?1??a?1，F?x?极小（Ⅱ）设h?x??ax?a2?a??a??F??? ?a??aln???.

4?2??2?sinx ?x?0?，

2?cosx2h'?x??a?1?2cosx?2?cosx?，

设t?cosx，则t???1,1?，??t??1?2t?2?t?2，?'?t???2?t?2??t?1??2?t?4 ??2?t?1??2?t?3?0，

∴??t?在?1,1上递增，∴??t?的值域为??1,?，

3????1??①当a?1时，h'?x??0，h?x?为?0,???上的增函数， 3∴h?x??h?0??0，适合条件. ②当a?0时，∵h?③当0?a??1????a???0，∴不适合条件. ?222??1?sinx时，对于0?x?，h?x??ax?， 323sinxcosx令T?x??ax?，T'?x??a?，

33存在x??0,?????，使得x??0,x0?时，T'?x??0， 2?∴T?x?在?0,x0?上单调递减， ∴T?x0??T?0??0，

即在x??0,x0?时，h?x??0，∴不适合条件. 综上，a的取值范围为?,???.

点睛：导数问题经常会遇见恒成立求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数

?1?3??的最值问题；（2）若 f?x??0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f?x?min?0 ，若f?x??0恒成立?f?x?max?0；（3）若f?x??g?x? 恒成立，可转化为f?x?min?g?x?max（需在同一处取得最值）.

请考生在第22.23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目. 如果多做，则按所做的第一个题目计分.

??x?2?tcos?,22.在直角坐标系xOy中，倾斜角为?的直线l的参数方程为?（t为参数）.

??y?3?tsin?在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为

?2?2?cos??8.

（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB?42，求直线l的倾斜角. 【答案】（1）x?y?2x?8?0 ； （2）【解析】 【分析】

（1）根据平方关系消参数得直线l的普通方程，根据??x?y,?cos??x得曲线C的直角坐标方程（2）利用直线参数方程几何意义求解.

22222?? 或. 62??x?2?tcos?【详解】（1）因为直线l的参数方程为?（t为参数），

??y?3?tsin?当?=当???2时，直线l的直角坐标方程为x?2．

时，直线l的直角坐标方程为y?3?tan??x?2?．

22?22因为??x?y,?cos??x，

因为??2?cos??8，所以x?y?2x?8． 所以C的直角坐标方程为x?y?2x?8?0．

（2）解法1：曲线C的直角坐标方程为x?y?2x?8?0，

2222222将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理，得t?23sin??2cos?t?5?0． 因为??23sin??2cos?2????2?20?0，可设该方程的两个根为t1，t2，

则t1?t2??23sin??2cos? ，

??MN?t1?t2?(t1?t2)2?4t1t2?(4cos?)2?4???5??26．

所以AB?t1?t2?整理得

?t1?t2?2?4t1t2 ???23sin??2cos???20?42．

????2???3sin??cos??2?3，

故2sin????????3． 6?因为0????，所以??解得???6??3或???6?2?， 3?6或???2

综上所述，直线l的倾斜角为

??或． 62解法2：直线l与圆C交于A，B两点，且AB?42， 故圆心C?1,0?到直线l的距离d?9?22①当????2?1．

?2?时，直线l的直角坐标方程为x?2，符合题意．

????????②当?0,2???2,??时，直线l的方程为xtan??y?3?2tan??0．

???所以d?解得??tan??0?3?2tan?1?tan2?2?1，整理得3?tan??1?tan?．

?6．

综上所述，直线l的倾斜角为

??或． 62【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分析求解能力，属中档题.

23.已知函数f(x)?x?2?2x?4.

（Ⅰ）解不等式：f(x)??3x?4；

（Ⅱ）若函数f(x)的最小值为a，且m?n?a(m?0,n?0)，求【答案】（Ⅰ）{x|x??}；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值f??2??4，则m?n?4，m?0，n?0，根据可.

11?的最小值. mn12111?11????m?n????，利用均值不等式求最值即mn4?mn???3x?2,x??2?【详解】（Ⅰ）f?x??x?2?2x?4 ??x?6,?2?x?2

?3x?2,x?2?可得当x??2时，?3x?2??3x?4，即?2?4，所以无解； 当?2?x?2时，x?6??3x?4，得x??当x?2时，3x?2??3x?4，得x?∴不等式的解集为{x|x??}.

11，可得??x?2； 221，可得x?2. 312??3x?2,x??2?（Ⅱ）根据函数f?x???x?6,?2?x?2

?3x?2,x?2?可知当x??2时，函数取得最小值f??2??4，可知a?4， ∵m?n?4，m?0，n?0，

1111?nm?1?11??1?1?????2?2??1. ??m?n???∴???

4?mn?4mn4?mn?当且仅当∴

nm?，即m?n?2时，取“=”. mn11?的最小值为1. mn【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.