杭州市上城区2015-2016学年八年级上期末数学试卷含答案解析

（3）如图③中，连接DC，先利用勾股定理的逆定理证明△DEC是直角三角形，得∠DEC=90°即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图①中，∵△ABD和△ECB都是等边三角形， ∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°， ∴∠ABE=∠DBC， 在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC， ∴AE=DC．

（2）解：如图②中，取BE中点F，连接DF． ∵BD=AB=1，BE=BC=2，∠ABD=∠EBC=60°， ∴BF=EF=1=BD，∠DBF=60°， ∴△DBF是等边三角形， ∴DF=BF=EF，∠DFB=60°， ∵∠BFD=∠FED+∠FDE， ∴∠FDE=∠FED=30°

∴∠EDB=180°﹣DEB∠DBE﹣∠DEB=90°， ∴DE=

=

=

．

（3）解：如图③中，连接DC，

∵△ABD和△ECB都是等边三角形，

∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°， ∴∠ABE=∠DBC， 在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC，

∴AE=DC．

∵DE2+BE2=AE2，BE=CE， ∴DE2+CE2=CD2， ∴∠DEC=90°， ∵∠BEC=60°，

∴∠DEB=∠DEC﹣∠BEC=30°．

24．A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，P是x轴上一动点，从原点O出发，沿正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．

（1）若AB∥x轴，求t的值； （2）设点B的坐标为（x，y），试求y关于x的函数表达式； （3）当t=3时，平面直角坐标系内有一点M（3，a），请直接写出使△APM为等腰三角形的点M的坐标．

【考点】一次函数综合题． 【分析】（1）由AB∥x轴，可找出四边形ABCO为长方形，再根据△APB为等腰三角形可得知∠OAP=45°，从而得出△AOP为等腰直角三角形，由此得出结论；

（2）先证出△PAO≌△BPC，即可得出各边的关系，利用坐标系中点的意义即可得出个线段的长度，由相等的量可得出结论；

（3）由等腰三角形的性质可知，若△APM为等腰三角形只需找到一组临边相等即可，临边相等分三种情况，分类讨论结合两点间的距离公式即可得出结论． 【解答】解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图1所示．

∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴， ∴四边形ABCO为长方形， ∴AO=BC=4．

∵△APB为等腰直角三角形， ∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°， ∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°， ∴△AOP为等腰直角三角形， ∴OA=OP=4． t=4÷1=4（秒）， 故t的值为4．

（2）∵△APB为等腰直角三角形， ∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°． 又∵∠PAO+∠APO=90°， ∴∠PAO=∠BPC． 在△PAO和△BPC中，

，

∴△PAO≌△BPC， ∴AO=PC，BC=PO． ∵点A（0，4），点P（t，0），点B（x，y）， ∴PC=AO=4，BC=PO=t=y，CO=PC+PO=4+y=x， ∴y=x﹣4．

（3）△APM为等腰三角形分三种情况： ①当AM=AP时，如图2所示．

当t=3时，点P（3，0）， ∵点M（3，a），点A（0，4）， ∴由两点间的距离公式可知： AM=∴

，AP=

=5，解得：a=0（舍去），a=8．

=5，

此时M点的坐标为（3，8）；

②当MA=MP时，如图3所示．

∵点P（3，0），点A（0，4），点M（3，a）， ∴由两点间的距离公式可知： MA=∴

此时M点的坐标为（3，

，MP=a， =a，解得：a=）；

．

③当PA=PM时，如图4所示．

∵点P（3，0），点A（0，4），点M（3，a），

∴由两点间的距离公式可知： PA=

=5，PM=a，

∴a=5．

此时M点的坐标为（3，5）．

综上可知：当t=3时，平面直角坐标系内有一点M（3，a），使△APM为等腰三角形的点M的坐标为（3，8），（3，

）和（3，5）．