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33430982093161171386628479498818593945774941040426

(4).麦琴(Machin)给出?推出π

4=4(4arctan1?arctan15239?4arctan11?arctan 5239)

编写程序： syms n;

f1=(-1)^(n-1)*(1/5)^(2*n-1)/(2*n-1); f2=(-1)^(n-1)*(1/239)^(2*n-1)/(2*n-1); ans1=symsum(f1,n,1,28); ans2=symsum(f2,n,1,28); ans=vpa(4*(4*ans1-ans2),100) 得π≈

3.141592653589793238462643383279502884197130451046268578972203255663716036677133432949011735665451127

3.概率方法 编写程序： m=0;

for i=1:100000 x=rand; y=rand; if x^2+y^2<=1;

m=m+1; else end end 4*m/100000

得π≈3.136000000000000 n=100000时，

π≈3.139920000000000

（4）数值积分法

1由于定积分得到了Π的值。 计算定积分

dx=1Π,计算出这个积分的饿数值，也就是

0，可用梯形公式近似计算。如果要准确些，

??可用辛普森公式。 具公式如下：

梯形公式 设分点X1，。。。，Xn-1 将积分区间[a,b]n等分，即Xi=a+i(b-a)/n,0<=i<=n.所有的曲边梯形的宽度都是h=（b-a）/n。记yi=f(xi),则第i个曲边梯形的面积Si近似地等于梯形面积1/2（yi-1+yi）h.将所有这些梯形面积加起来就得到

S?（b-a ）/2[y1+y2+...+yn-1+(y0+yn)/2] 这就是梯形公式。 程序如下：

a=0;b=1;y=[x_]:=4/(1+x^2); n=1000; Pisl=

N[(b-a)/n*(Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}]+(y[a]+y[b])/2),50]

Out[1]=3.1415924869231265717979608435969622526877898925998

改变n的值：n=10000,n=100000...... a=0;b=1;y=[x_]:=4/(1+x^2); n=10000; Pis2=

N[(b-a)/n*(Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}]+(y[a]+y[b])/2),50]

Out[1]=3.141592576923126571797960843573455268798067895678

a=0;b=1;y=[x_]:=4/(1+x^2); n=100000; Pis2=

N[(b-a)/n*(Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}]+(y[a]+y[b])/2),50]

Out[1]=3.1415925906923126571797908722596962252687982568752

实验观察：当改变n的值时 ，当n的值越大得到的结果越接近准确值。

辛普森公式

仍用分点

ixi?a0≤i≤n,将区间[a,b]n等分，直线x=

??]

曲边梯形分成n个小曲边梯形，再作每个小区间

的中点x??将

=a+(i-1/2)(b-a)/n.将第i个小曲边梯形的上边界y=f(x)

(求得

S(i)≈(b-a)/n[其中S=(b-a)/6n

yi4y)近似地看做三点（x,f(x)）(xix?xi1)的抛物线，则

????????1yi12?f，于是得到

y0yn2y1y2y3...yn14y1y3...22这就是辛普森公式。

下面用Mathematica程序来运行 首

先

给

出

给

定

的

值