Π的计算

?的计算

一、实验指导书解读及目的

在本次试验中，我们将追溯关于圆周率的计算历程。

通过古典方法，对数值积分法，级数加速法、蒙特卡洛法等计算方法的介绍和计算体验，感受数学思想和数学方法的发展过程，提高对极限和级数收敛性及收敛速度的综合认识，同时使我们看到数学家对科学真理的永无止境的追求。 实验目的：

1.用多种方法计算圆周率错误！未找到引用源。的值； 2.通过实验来说明各种方法的优劣； 3.尝试提出新的计算方法。

?的简介

圆周率是一个常数（约等于3.1415926），是代表圆周长和直径的比例。它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。但在日常生活中，通常都用3.14来代表圆周率去进行计算，即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，也只取值至小数点后约20位。

π(pai)是第十六个希腊字母，本来它是和圆周率没有关系的，但大数学家欧拉在一七三六年开始，在书信和论文中都用π来代表圆周率。既然他是大数学家，所以人们也有样学样地用π来表示圆周率了。但π除了表示圆周率外，也可以用来表示其他事物，在统计学中也能看到它的出现。

二、实验计划、过程与结果

1.古典方法：

用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近

以阿基米德的圆内接96边形和圆外切96边形逼近为例 已知：sin错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。

推出：96 sin<错误！未找到引用源。< 96tan错误！未找到引用源。 编写matlab程序 format long x=sin(pi/96) y=96*x 得：96sin=

3.141031950890509 Format long x=tan(pi/96) y=96*x

得：96tan错误！未找到引用源。=

3.142714599645368

3.141031950890509<<3.142714599645368

2、\投针实验\求圆周率的方法

1777

年，法国数学家蒲丰取一根针，量出它的长度，

然后在纸上画上一组间距相等的平行线，这根针的长度是这些平行线的距离是的一半。把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去。小针有的与直线相交，有的落在两条平行直线之间，不与直线相交。这次实验共投针2212次，与直线相交的有704次，2212÷704≈3.142。得数竟然是π的近似值。这就是著名的蒲丰投针问题。后来他把这个试验写进了他的论文《或然性算术尝试》中。

蒲丰证明了针与任意平行线相交的概率为 p = 2l/πd 。这个公式中l为小针的长，d为平行线的间距。由这个公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。当实验中投的次数相当多时，就可以得到 π 的更精确的值。

蒲丰实验的重要性并非仅仅是为了求得比其它方法更精确的 π 值。而在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。计算 π 的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人

叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。

找一根粗细均匀，长度为 d 的细针，并在一张白纸上画上一组间距为 l 的平行线（方便起见，常取 l = d/2），然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上。这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，

布丰（Comte de Buffon）设计出他的著名的投针问题（needle problem）。依靠它，可以用概率方法得到π的近似值。假定在水平面上画上许多距离为a的平行线，并且，假定把一根长为l＜a的同质均匀的针随意地掷在此平面上。布丰证明：该针与此平面上的平行线之一相交的概率为：p=2l/(api) 把这一试验重复进行多次，并记下成功的次数，从而得到P的一个经验值，然后用上述公式计算出π的近似值，用这种方法得到的最好结果是意大利人拉泽里尼（Lazzerini）于1901年给出的。他只掷了3408次针，就得到了准确到6位小数的π的值。他的试验结果比其他试验者得到的结果准确多了，甚至准确到使人们对它有点怀疑。还有别的计算π的概率方法。例如，1904年，查尔特勒斯（R·Chartres）就写出了应用下列实例的报告：如果写下任意两个整数测它们互素的概率为6／π2。

下面就是一个简单而巧妙的证明。找一根铁丝弯成一个圆