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《华罗庚学校思维训练导引》五年级第二节
五年级上学期 第05讲 整数问题第02讲 质数与和数
【内容概述】
本节主要讲通过分解质因数求解的整数问题。
【例题分析】
1、9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个？
分析：9个连续的自然数，末尾可能是1-9，末尾是2、4、6、8的一定被2整除，末尾是5 的一定被5整除，只有末尾是1、3、7、9的数可能是质数。
9个连续的自然数，末尾可能是2-0，末尾是2、4、6、8、0的一定被2整除，末尾是5的一定被5整除，只有末尾是3、7、9的数可能是质数。 详解：质数最多有4个。
评注：本题主要考察数的整除特征。
2、3个质数的倒数之和是
16611986，则这3个质数之和为多少？
分析：质数通分没有公约数，所以1986相当于3个质数的乘积，1661相当于任意2个质数乘积的和。
详解：1986=2×3×331
2×3+3×331+2×331=6+993+662=1661
∴这3个质数之和为2+3+331=336
评注：本题主要考察质数的一些性质。
3、已知一个两位数除1477，余数是49，求满足这样条件的所有两位数。 分析：由题目可知（1477-49）是这个两位数的倍数。 详解：1477-49=1428
1428=2×2×3×7×17 ∵余数是49
∴除数要比49大
∴这样的两位数有：3×17=51、2×2×17=68、2×2×3×7=84
4、有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140。如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？
分析：分子与分母的乘积是140，可知分子与分母的可能值。 详解：140=2×2×5×7
满足条件的分数有∴第三个分数是
720435、
528、
720
。
评注：注意最简真分数的定义。
5、某校师生为贫困地区捐款1995元。这个学校共有35名教师，14个教学班。各班学生人数相同且多于30人不超过45人。如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？
分析：1995=（35+14×学生人数）×钱数 详解：1995=3×5×133
=（35+14×7）×3×5 =（35+14×26）×5 =（35+14×45）×3 ∴平均每人捐款3元。
6、在做一道两位数乘以两位数乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872。那么原来的乘积是多少？ 详解：1872=2×2×2×2×3×3×13
=24×78 =52×36
=39×48 =26×72
∴原来的乘积是24×75=1800 或39×45=1755
7、已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少？ 详解：2924=2×2×17×43
∵两个数的和被5除余1
∴和的末尾数是1或6。 ∴2924=（2×2×17）×43
∴它们的差等于2×2×17－43=25 评注：本题关键是数被5整除的特征。
8、在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过0的自然数。甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少了4环。求甲、乙的总环数各是多少？ 分析：积是1764，不可能是脱靶。 详解：1764=2×2×3×3×7×7
由题目可知，甲、乙都有两个7环。
剩下的环数可能是9、2、2；6、3、2；6、6、1；9、4、1；4、3、3。 满足条件的有：4、3、3与 9、4、1。 ∴甲的环数是7+7+10=24环 乙的环数是7+7+14=28环。
评注：本题关键是分析剩下的环数可能的值。
9、在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？ 分析：209等于两条边的和与第三边的乘积 详解：209=11×19=11×（2+17）
∴长方体的体积是11×2×17=374。
评注：本题的难点是209所包含的数有哪些。
10、一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米。那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 详解：39270=2×3×5×7×11×17
由题目可知3个自然数为：33、34、35
长方体的表面积是[（33×34）+（33×35）+（34×35）] ×2= 6934平方厘米
评注：本题关键是39270的分解。
11、一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米？ 详解：1998=2×3×3×3×37
和最小，三个数要近可能相近 ∴三个数为：37、9、6
∴长、宽、高的和的最小可能值是37+9+6=52厘米
评注：本题关键是清楚要使和最小，三个数要近可能相近。
12、如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少？ 分析：两数的积是4875的约数。 详解：4875=3×5×5×5×13
可知：两数的末尾必是5、9
通过分析得知两数为39、25 两数的差为39－25=14
评注：本题关键是考察对数的分析、拼凑能力。
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