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a－a2－8a－a2－8a＋a2－8a＋a2－8

此时f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，在(，

2222＋∞)上单调递增．

4

17．(2015·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．

3(1)确定a的值；

(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．

1

答案 (1)a＝ (2)g(x)在(－∞，－4]和[－1，0]上为减函数，在[－4，－1]和[0，＋∞)上为

2增函数

解析 (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x， 44

因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′(－)＝0，

3316416a81

即3a×＋2×(－)＝－＝0，解得a＝.

933321

(2)由(1)得g(x)＝(x3＋x2)ex.

2

151

g′(x)＝(x3＋x2＋2x)ex＝x(x＋1)(x＋4)ex.

222令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4. 当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数； 当－40，故g(x)为增函数； 当－10时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．

综上，知g(x)在(－∞，－4]和[－1，0]上为减函数，在[－4，－1]和[0，＋∞)上为增函数．

1．(2014·陕西理)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )

A．y＝C．y＝

133x－x 1255

B．y＝

234

x－x 1255

33

x－x 12531

D．y＝－x3＋x

1255

答案 A

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解析 设所求函数解析式为y＝f(x)，由题意知f(5)＝－2，f(－5)＝2，且f′(±5)＝0，代入验证易得y＝

133

x－x符合题意，故选A. 1255

2．(2016·湖南十三校第二次联考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．f(x)＝sin2x C．f(x)＝x3－x 答案 B

解析 f(x)＝xex的导函数为f′(x)＝(1＋x)ex，易知f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以该函数在区间(0，＋∞)上为增函数．故选B.

1

3．(2016·山西太原质量检测)已知函数f(x)＝x(ex－x)，若f(x1)

eA．x1>x2 C．x1

解析 因为f(－x)＝－x(ex－

－

B．f(x)＝xex D．f(x)＝－x＋lnx

B．x1＋x2＝0 D．x12

11x

－x)＝x(e－x)＝f(x)，且易知f(x)的定义域为R，所以f(x)为ee

11

偶函数．由f(x1)

eee2x（x＋1）＋x－1

.当x≥0时，e2x(x＋1)＋x－1≥e0(0＋1)＋0－1＝0，此时f′(x)≥0，所以

exf(x)在[0，＋∞)上为增函数，由(*)式得|x1|<|x2|，即x12

4．(2016·河北唐山一模)直线y＝a分别与曲线y＝2(x＋1)，y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为( ) A．3 32C. 4答案 D

aa

解析 令2(x＋1)＝a，解得x＝－1.设方程x＋lnx＝a的根为t，即t＋lnt＝a，则|AB|＝|t－

22＋1|＝|t－

t＋lnttlnttlnt11t－1

＋1|＝|－＋1|.设g(t)＝－＋1(t>0)，则g′(t)＝－＝，令g′(t)2222222t2t

B．2 3

D. 2

＝0，得t＝1，当t∈(0，1)时，g′(t)<0；当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，所以g(t)min＝g(1)333＝，所以|AB|≥，所以|AB|的最小值为. 222

5．(2015·四川)已知函数f(x)＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0. (1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；

(2)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解． 解析 (1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

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g(x)＝f′(x)＝2(x－1－lnx－a)， 22（x－1）

所以g′(x)＝2－＝.

xx

当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增． (2)由f′(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx.

令φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx， 则φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0. 于是存在x0∈(1，e)，使得φ(x0)＝0.

令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1)． 1

由u′(x)＝1－≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，

x故0＝u(1)f(x0)＝0； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，从而f(x)>f(x0)＝0； 又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx>0. 故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0.

综上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解． a

6．(2016·山东师大附中)已知函数f(x)＝x－－lnx，a>0.

x(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若f(x)>x－x2在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

1－1－4a1＋1－4a1

答案 (1)0

4221－1－4a1＋1－4a1

为(，)；a≥时，单调递增区间为(0，＋∞)

224(2)0

解析 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， a1x2－x＋a

由于f′(x)＝1＋2－＝，

xxx2令m(x)＝x2－x＋a，

1

①当Δ＝1－4a≤0，即a≥时，f′(x)≥0恒成立，

4所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

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1－1－4a1＋1－4a1

②当Δ＝1－4a>0，即00，得0.

4221－1－4a1＋1－4a1－1－4a1＋1－4a

所以f(x)在(0，)，(，＋∞)上是增函数，在(，)

2222上是减函数．

1－1－4a1＋1－4a1－1－4a1

综上知，当0

42221＋1－4a

)上是减函数． 2

1

当a≥时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

4a

(2)f(x)>x－x2，即x2－－lnx>0，

x因为x∈(1，＋∞)，所以a

g(x)＝x3－xlnx，h(x)＝g′(x)＝3x2－lnx－1，h′(x)＝6x－

16x2－1＝， xx

在(1，＋∞)上h′(x)>0，得h(x)>h(1)＝2，即g′(x)>0，故g(x)＝x3－xlnx在(1，＋∞)上为增函数，g(x)>g(1)＝1，所以0

7．(2016·郑州一中月考)已知函数f(x)＝exsinx. (1)求函数f(x)的单调区间；

π

(2)当x∈[0，]时，f(x)≥kx，求实数k的取值范围．

2解析 (1)f′(x)＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)． π

令y＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)．

4

π3π

当x∈(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z，f′(x)>0，f(x)单调递增；

443π7π

当x∈(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z，f′(x)<0，f(x)单调递减．

44π3π

函数f(x)的单调递增区间为(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z；

443π7π

函数f(x)的单调递减区间为(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z.

44(2)令g(x)＝f(x)－kx＝exsinx－kx，即g(x)≥0恒成立， 而g′(x)＝ex(sinx＋cosx)－k，

令h(x)＝ex(sinx＋cosx)，∴h′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝2excosx. π

∵x∈[0，]，h′(x)≥0，

2

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