《高考调研》大一轮复习（新课标，数学理）题组训练第三章导数及应用题组15 Word版含解析

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题组层级快练(十五)

4

1．当x>0时，f(x)＝x＋的单调减区间是( )

xA．(2，＋∞) C．(2，＋∞) 答案 B

4（x－2）（x＋2）

解析 f′(x)＝1－2＝<0，

xx2又∵x>0，∴x∈(0，2)，∴选B.

2．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0，2π)上是( ) A．增函数

C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 答案 A

解析 ∵f′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0，2π)上递增．

3．已知e为自然对数的底数，则函数y＝xex的单调递增区间是( ) A．[－1，＋∞) C．[1，＋∞) 答案 A

解析 令y′＝(1＋x)ex≥0.∵ex>0，∴1＋x≥0，∴x≥－1，选A.

1

4．(2016·长沙雅礼中学模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”

2的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

3

解析 f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”

2的充分不必要条件．

5．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－A．a＞0 C．a＞1 答案 A

解析 y′＝a(3x2－1)，解3x2－1＜0，得－

33＜x＜. 33

33

，)，则a的取值范围是( ) 33

B．－1＜a＜0 D．0＜a＜1 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．(－∞，－1] D．(－∞，1] B．减函数

D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 B．(0，2) D．(0，2)

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∴f(x)＝x3－x在(－

33

，)上为减函数． 33

33

，)．∴a＞0. 33

又y＝a·(x3－x)的递减区间为(－

6．函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为( ) 1

A．(0，)

a1

C．(－∞，)

a答案 A

11

解析 由f′(x)＝－a>0，得0

xa1

∴f(x)的单调递增区间为(0，)．

a

7．如果函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是( )

1

B．(，＋∞)

aD．(－∞，a)

答案 A

8．(2016·合肥一中模拟)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)1

时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则( )

2A．a

解析 由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为x＝1，故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)． 又x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，可知f′(x)>0. 1

即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)

2

9．(2016·南京市金陵中学月考)已知函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x02－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是( ) A．[－1，＋∞) C．(－∞，－1)和(1，2) 答案 C

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2

B．c

B．(－∞，2] D．[2，＋∞)

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解析 根据函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x02－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0，得x<－1或1

10．(2013·浙江文)已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )

答案 B

解析 由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像自左至右是先上升后下降，可知函数y＝f(x)图像的切线的斜率自左向右先增大后减小，故选B.

11．(2015·新课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－∞，－1)∪(－1，0) 答案 A 解析 令F(x)＝

f（x）

，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝x

B．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)

xf′（x）－f（x）f（x）

，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，

x2x根据对称性，F(x)＝

f（x）

在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，x

使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．故选A.

12．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是________． 答案 (0，2)

13．(2016·保定模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cosx，x∈(－1，1)，且f(0)＝0，若f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围为________． 答案 (1，2)

解析 ∵导函数是偶函数，∴原函数f(x)是奇函数，且定义域为(－1，1)．又导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f(1－x)

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14．若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为________． 答案 (2，＋∞)

解析 令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1.由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数． ∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．

15．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)． (1)实数k的值为________；

(2)若在(0，4)上为减函数，则实数k的取值范围是________． 11

答案 (1) (2)0

1

解析 (1)f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，由题意知f′(4)＝0，解得k＝.

3

2（k－1）1

(2)由f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x≤0并结合导函数的图像可知，必有－≥4，解得k≤.

k31

又k>0，故0

3

2

16．已知函数f(x)＝x－＋1－alnx，a>0.讨论f(x)的单调性．

x

a－a2－8

答案 当022时，单调递减区间为(，

2a＋a2－8a－a2－8a＋a2－8

)，单调递增区间为(0，)，(，＋∞) 222

2ax2－ax＋2解析 由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋2－＝.

xxx2设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8. ①当Δ<0，即00都有f′(x)>0. 此时f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．

②当Δ＝0，即a＝22时，仅对x＝2有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．

a－a2－8a＋a2－8

③当Δ>0，即a>22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，220

所以f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：

X f′(x) f(x) (0，x1) ＋ x1 0 极大值 (x1，x2) － x2 0 极小值 (x2，＋∞) ＋ 匠心教育文档系列 4