2020届云南省玉溪市第一中学高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

【点睛】

本题考查了向量共线定理、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

三、解答题

17．已知?,?为锐角，tan??求tan(???)的值． 【答案】（1）?45，cos(???)??．（1）求cos2?的值；（2）3527；（2）?

1125【解析】分析：先根据同角三角函数关系得cos2?，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2?，再利用两角差的正切公式得结果.

4sin?4，tan??，所以sin??cos?． 3cos?392因为sin2??cos2??1，所以cos??，

2572因此，cos2??2cos??1??．

25详解：解：（1）因为tan??（2）因为?,?为锐角，所以?????0,π?． 又因为cos???????525，所以sin??????1?cos2??????， 55因此tan???????2． 因为tan??42tan?24??，所以tan2??， 231?tan?7因此，tan??????tan??2??????????tan2??tan?????1+tan2?tan???????2． 11点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.

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(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

18．在等差数列{an}中，a1?1，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，

b1?1，且b2?S3?11，S6?9b3.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）设cn?an，求数列{cn}的前n项和Tn. bnn?1【答案】（1）an?2n?1,bn?2（2）Tn?6?2n?3 2n?1【解析】（1）利用基本元的思想，将题目所给已知条件转化为a1,d,b1,q的形式，解方.2）程组求得d,q的值，由此求得an和bn的通项公式（利用错位相减法求得cn的前n项和Tn. 【详解】

解：（1）设等差数列?an?的公差为d，等比数列?bn?的公比为q，则

?q?3?3d?11?2， 6?15d?9q?解得d?2,q?2，

n?1所以an?2n?1,bn?2；

（2）cn?2n?1，当n?1时，T1?1； 2n?1当n?2时，

Tn?1?352n?32n?1?2?L?n?2?n?1，① 222211352n?32n?1Tn??2?3?L?n?1?n，② 222222① -②得：

122222n?11?2n?12n?3?Tn?1??2?3?L?n?1?n?1?2?1?n?1??n?3?， n222222222??2n?3， 2n?12n?3综上Tn?6?n?1

2Tn?6?第 14 页 共 20 页

【点睛】

本小题主要考查利用基本元的思想求解有关等差和等比数列的问题，考查错位相减求和法，属于中档题.

19．如下图，在四棱锥P?ABCD中，PD?面ABCD，AB//DC，AB?AD，

DC?6，AD?8，BC?10，?PAD?45o，E为PA的中点。

（1）求证：DE//面PBC；

（2）线段AB上是否存在一点F，满足CF?DB？若存在，试求出二面角F?PC?D的余弦值；若不存在，说明理由。

【答案】（1）见解析；（2）存在点F，满足CF?DB,二面角F?PC?D的余弦值为

8。 17【解析】【详解】试题分析：（1）要证DE//平面PBC，只要在平面PBC内找到一条直线与DE平行即可，取PB的中点M,构造平行四边形CDAN即可证明；（2）以

DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D?xyz，写出点A,B,C,D的坐标，

假设AB上存在一点F使CF?BD，利用空间向量知识可得到在AB上存在点F满足

uuur条件，平面DPC的一个法向量为DA?(1,0,0)，再求出平面FPC的法向量，即可求

二面角F?PC?D的余弦值。

试题解析：（1）取PB的中点M，连EM和CM，过C点作CN?AB，垂足为N ∵CN?AB，DA?AB，∴CN//DA，又AB//CD ∴四边形CDAN为平行四边形，

∴CN?AD?8,DC?AN?6，在直角三角形BNC中，

BN?BC2?CN2?102?82?6

∴AB?12，而E,M分别为PA,PB的中点， ∴EM//AB且EM?6，又DC//AB

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∴EM//CD且EM?CD，四边形CDEM为平行四边形， ∴DE//CM

CM?平面PBC，DE?平面PBC，∴DE//平面PBC。

（2）由题意可得，DA,DC,DP两两互相垂直，如图，以DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D?xyz，

则

，假设AB上存在一点F使CF?BD，设

，

F坐标为

则

uuur，由DA?(1,0,0)，得

，

uuur又平面DPC的一个法向量为DA?(1,0,0) rn设平面FPC的法向量为?(8,12,9)

又

，

，

由，得，即

不妨设，有

则

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