2020届云南省玉溪市第一中学高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

【详解】

解：函数f(x)?asinx?3cosx?a2?3sin(x??) 的图象的一条对称轴为直线

x???6，

?a3a?f(?)?????a2?3，解得a??1．

622当a?1时，f(x)?sinx?3cosx?2sin(x?)，

3Qf(x1)gf(x2)??4，则f(x1)和f(x2)一个为?2，另一个为2，

??x1?2k1???6，x2?2k2??5?2?|，k1,k2?Z． ，则|x1?x2|?|2(k1?k2)??632?． 32?当a??1时，同理求得，|x1?x2|取得最小值为，

3故当k1?k2?0时，|x1?x2|取得最小值为故选：C． 【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，利用对称轴求函数的解析式，利用三角函数的最值确定结果，属于中档题．

*12．设等差数列?an?满足a1?1，an?0n?N，其前n项和为Sn，若数列

???S?也

nSn?10为等差数列，则2的最大值是（ ）

anA．100 【答案】B

【解析】设等差数列{an}的公差为d，则2S2?S1?S3，可得解得d，再利用等差数列的通项公式、求和公式可得an，Sn?10，22?d?1?3?3d，进而得出． 【详解】

解：设等差数列{an}的公差为d，则2S2?S1?S3，?22?d?1?3?3d，解得d?2，

B．121

C．132

D．144

?an?2n?1

?Sn?10?(n?10)?1?(n?10)(n?9)2?2?(n?10)2，an?(2n?1)2．

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?Sn?10an2121(2n?1)?(n?10)2]2?1(1?21)2?121，当n?1时取等号， ??[22(2n?1)(2n?1)42n?12?Sn?10的最大值为121． an2故选：B． 【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、函数的单调性、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题

13．若直线ax?by?3?0(a?0,b?0)过点(2,?1)，则____________. 【答案】1?11?的最小值为ab22 3【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】

解：Qax?by?3?0(a?0,b?0)过点(2,?1)， ?2a?b?3，

则

111111b2a122． ??(?)(2a?b)?(3??)…(3?22)?1?ab3ab3ab33当且仅当

b2a?即b?2a时取等号. ab22 3故答案为：1?【点睛】

本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．

rrrrrr14．向量a???1,1?，b??1,0?，若a?b?2a??b，则??__________．

????【答案】3

rrrr【解析】解答：由题意可得：a?b???2,1?,2a??b???2??,2? ,

rrrr由题意可得：a?b?2a??b??2??2????1?2?0???3 .

????15．在等差数列?an?中，若a10?0，则有

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a1?a2?...?an?a1?a2?...?a19?n(n?19,n?N?)成立。类比上述性质，在等比数列

?bn?中，若b9?1，则 __________________

?【答案】b1?b2?...?bn?b1?b2?...?b17?n(n?17,n?N)

【解析】通过类比，结合等比数列的性质，即可得到答案。 【详解】

?类比题目所给条件即可得到：b1?b2?...?bn?b1?b2?...?b17?n(n?17,n?N) ?当n?8时，则n?17?n，故b1?b2?...?bn?b1?b2?...?bnbn?1?...?b17?n(n?N)，由 2于?bn?为等比数列，b9?1，则bn?1b17?n?bn?2b16?n?...?b9?1，所以

bn?1bn?2?...?b17?n?1，即b1?b2?...?bn?b1?b2?...?b17?n(n?N?)成立；

当n?8，由于b9?1，则b1?b2?...?bn?b1?b2?...?b17?n显然成立； 当8?n?17，

b1?b2?...?bn?b1?b2?...?b17?n等价于b1?b2?...?b17?nb18?n?...?bn?b1?b2?...?b17?n，

2由于?bn?为等比数列，b9?1，则b18?nbn?b9?1，则b18?nb19?n?...?bn?1bn?1，

所以b1?b2?...?bn?b1?b2?...?b17?n成立； 综上所述，当等比数列?bn?满足b9?1时，有

b1?b2?...?bn?b1?b2?...?b17?n(n?17,n?N?)成立。

【点睛】

本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及两类事物之间的共性，由此得出类比的结论即可，同时还考查等差等比数列的性质。

uuuruuur?13?uuuruuur16．设O是?ABC的外心，满足CO?tCA???t?CB，t?R，若AB?3，则

?24??ABC面积的最大值为____________.

【答案】9

【解析】用平面向量基本定理，把面积转化为三角函数，由此即可求出面积最大值． 【详解】

解：如图所示，取BC的中点D，

QO为三角形的外心，

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?OD?BC，

ruuur3uuur1uuu24uuuruuuruuur3uuur?CO?CD?tCA?tCB

4uuuruuur3uuur?DO?tCA?tCB

4?CO?CB?tCA?tCB

uuuruuur两边同时乘OB

uuuruuur3uuur20?tCAgCB?tCB

4uuuruuur3uuur2CAgCB?CB

4?bacos??a2 ?bcos??a

过点A作BC的垂线，交BC于点E；

3434Qbcos??a

3即CE?a

434即D为BC的四等分点靠近B点

?BE?a

BE?ABgcosB?3gcosB ?a?12cosB AE?ABsinB?3sinB

1411S?CBgAE?agsinB

221??12cosB?3sinB 2?9sin2B

当B??4时，面积S取得最大值，最大值为9．

故答案为：9．

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