相似三角形经典复习题

2013—2014学年第二学期初二期终复习资料（2013版江苏科学技术出版社）

相似三角形期终复习要点（含例题、练习及答案）

一、知识要点：

1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形；

应注意：△ABC∽△A?B?C?与△A?B?C?∽△ABC的相似比互为倒数，当k=1时，两个三角形全等。

2、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三

角形相似，这是今后证明三角形相似的重要依据。

3、三角形相似的判定定理：

定理1：两角对应相等，两三角形相似；定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 定理3：三边对应成比例，两三角形相似。推论1：斜边和直角边对应成比例，两直角三角形相似； 推论2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 4、黄金分割、位似图形、中心投影和平行投影、实际应用。 二、典型例题：

（一）、求线段长或线段比

例1 雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远一块小积水处，他看到了旗杆的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40 m，该生眼睛的高度是1.5 m，那么旗杆的高度是______． 解析 根据题意可得图1，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝1.5，BC＝2，CD＝40． 由AB∥DE，得△ACB∽△ECD，

DECD， ?ABBCDE40 即，DE＝30． ?1.52

因此有

故旗杆的高度为30 m．

例2 如图2所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若AF： FD＝1：3，则AE：EB＝___________；若AF：FD＝1：n(n>0)，则AE：EB＝________．

解析 过D作DG∥AB交CE于G．由于D是BC的中点，可知DG是BCE的中位线，

解：AE:EB=1:6

证明：过点D作DG‖AB交CE于点G。∵DG‖AB ∴△AEF∽△DGF，∴AE:DG=AF:FD=1:3。 ∵AD是BC边上的中线，DG‖AB

∴DG是△BCE的中位线，∴EB=2DG=6，∴AE:EB=1:6

同理可求得：AE：EB＝1：2n。

（二）、求周长与面积或周长与面积比

例3 如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．

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(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；

(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；

解：(1)∵S△PQC=S四边形PABQ， ∴S△PQC：S△ABC=1：2。 ∵PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC， ∴S△PQC：S△ABC= (CP：CA)2=1：2， ∴CP2=42×

1， ∴CP=2.

(2)∵S△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等， ∴PC+CQ=PA+AB+QB=

1 (△ABC的周长)=6 2 ∵PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC， ∴

CPCQCPCQ6?CP24?,??， 解得，CP= 。 CACB4337例4 如图3所示，在□ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于D．若S△DOE＝9 cm2，则S△AOB等于( )

(A)18 cm2 (B)27 cm2 (C)36 cm2 (D)45 cm2

（三）、证明比例线段

例5 如图4所示，已知正方形ABCD中，O是AC与BD的交点，∠DAC的平分线AP于点P，∠BDC的平分线DQ交AC于点Q，求证：

解析 由正方形的性质，知

BDAP?． CDBQ

（四）、实际应用举例

例6 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷，经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m和30 m，它们之间的距离为30 m，小张身高为1.6 m，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？

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解：由图可知，△EFG∽△AFB∽△DFC，∴EGFGEG?，ABFBDCFG?FC即，FG2FG4，∴FB=12.5FG，FC=18.75FG，?，?FB25FC75∴BC＝FC－FB＝6.25FG＝30，解得FG＝4.8 m，FB＝60 m，GB=FB-FG=55.2 m。∴小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有55.2 m.

【归纳总结】应用相似知识解决实际问题的关键在于根据题意，抽象出几何图形，然后利用相似的性质求解，涉及到应用多个三角形相似时，应注意中间比的寻找，做好过渡. 三、易混淆概念

1、比例线段的相关概念

在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：

bdac?．②在比例式?(a：b?c：d)中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项, a、c叫比例前项，b、cabdd叫比例后项，d叫第四比例项，如果b=c，即 a：b?b：d那么b叫做a、d的比例中项， 此时有b?ad。

黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(AC?BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，即

2AC2?AB?BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC?0.618AB．即

5?1AB≈2长短5?1ACBC5?1 简记为：＝＝ ??ABAC2全长20

注：黄金三角形：顶角是36的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

2、比例的性质

合、分比性质：

aca?bc?d???． bdbd等比性质：如果

a?c?e???maacem?． ?????(b?d?f???n?0)，那么

b?d?f???nbbdfn3、位似图形

（1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3） 位似图形的对应边互相平行或共线.

（4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. 注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，

或在图形上（图形边上或顶点上）。②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）。 （5） 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标

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为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),

（1）平行线型相似 四、基本图形

1、相似三角形的几种基本图形：

（1）如上图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图） (2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。

（3）如图：称 “垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）

（3）图 （4）图

(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。 2、基本图形的具体应用：

（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC

（2）射影定理 若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

222

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC=AD·AB，CD=AD·BD，BC=BD·AB；

ADBECEABDC （3）满足①AC=AD·AB，②∠ACD=∠B，③∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．

2

CADB（4）当

ADAE?或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB． ACABADBCADEBC 第 4 页 共 12 页