2020高考数学 考前30天之备战冲刺押题系列 名师预测卷 4 精品

点，………………………………………………3分

?则OP?OBcos(??)，

4 故所求?4的圆的极坐标方程为

??22cos(??)． …………………………………10分

?注：??22cos(??)亦正确．

4

D．选修4－5：不等式选讲

y+z≥1+1+1． 已知x，y，z均为正数．求证：x+yzzxxyxyz证明：因为x，y，z都是为正数，所以

同理可得

yz2zx2?≥，?≥． zxxyxxyyzyxyz111??≥??．………10分 yzzxxyxyzxy1xy2??(?)≥． …………………3分 yzzxzyxz将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得

22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1?x,x≥0，其中a＞0． 1?x(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；

已知函数f(x)?ln(ax?1)?(2)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．

a2ax2?a?2??解：(1)f?(x)? ． ax?1(1?x)2(ax?1)(1?x)2因f(x)在x?1处取得极值，故f?(1)?0，解得a=1 (经检验)．……………………4分 ax2?a?2(2)f?(x)?，因x≥0,a?0 ，故ax+1＞0，1+x＞0．

(ax?1)(1?x)2当a≥2时，在区间(0,??)上f?(x)≥0，f(x)递增，f(x)的最小值为f(0)=1．

当0

[2,??). ……………………10分

注：不检验不扣分．

23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

2

过抛物线y=4x上一点A(1，2)作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点

uuuruuurC(异于点A)在抛物线上，点E在线段AC上，满足AE=λ1EC；点F在线段BC上，满足

uuuruuurBF=λ2FC，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P． uuuruuur(1)设DP??PC，求?；

(2)当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．

解：(1)过点A的切线方程为y=x+1． …………………………………………………1分

切线交x轴于点B(-1，0)，交y轴交于点D(0，1)，则D是AB的中点．

uuur1uuuruuur所以CD?(CA?CB)． (1) ………………………3分

2uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur由DP??PC?DP?PC=(1+λ)PC ?CD?(1??)CP． (2)

uuuruuuruuuruuur同理由 AE=λ1EC， 得CA=(1+λ1)CE， (3)

uuuruuuruuuruuurBF=λ2FC， 得CB=(1+λ2)CF． (4)

将(2)、(3)、(4)式代入(1)得CP?uuuruuuruuur1[(1??1)CE?(1??2)CF]． 2(1??)1+λ11+λ2

因为E、P、F三点共线，所以 + =1，

2(1+λ)2(1+λ)

1

再由λ1+λ2=1，解之得λ=．……………………………………………………………6分

2(2)由(1)得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为△ABC的重心． 1-1+x02+0+y0

所以，x=，y=．

33

解得x0=3x，y0=3y-2，代入y0=4x0得，(3y-2)=12x．

2

由于x0≠1，故x≠3．所求轨迹方程为(3y-2)=12x (x≠3)． ………………………10分

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