2020高考数学 考前30天之备战冲刺押题系列 名师预测卷 4 精品

(1)求证：B≤(2)若B?解：

?； 3?，且A为钝角，求A． 4a2?c2?b2a2?c2?(1)由余弦定理，得cosB?． ……………………………………3分

2ac4ac1因a2?c2≥2ac，?cosB≥．………………………………………………………6分

2?由0＜B＜π，得 B≤，命题得证． ……………………………………………7分

3(2)由正弦定理，得sin2A+sin2C=2sin2B． …………………………………………10分

?因B?，故2sin2B=1，于是sin2A=cos2C．……………………………………12分

43?因为A为钝角，所以sinA=cosC=cos(??A)=sin(A?)．

44??5?所以A?(A?)??(A=A?，不合，舍) ．解得A=． …………………14分

448（2）其它方法：

法1 同标准答案得到sin2A=cos2C，用降幂公式得到

1?cos2A1?cos2C，或 ?223cos2A?cos2(??A)?0，展开再处理，下略．

4法2 由余弦定理得b?a?c?2ac，结合a2?c2?2b2得2ac?b，

22222sinAsinC?sin2?42，sinAsin(??A)?22342，展开后用降幂公式再合，下略． 222法3 由余弦定理得b?a?c?2ac，结合a2?c2?2b2得2ac?a?c，

332sinAsinC?sin2A?sin2C，2sinAsin(??A)?sin2A?sin2(??A)，下略

4418．(本题满分16分)

x2y22在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2?2?1(a＞b＞0)的离心率为，其焦点在圆

ab2x2+y2=1上．

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使 uuuuruuuruuurOM?cos?OA?sin?OB．

(i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；

22

(ii)求OA+OB． 解：

(1)依题意，得 c=1．于是，a=2，b=1． ……………………………………2分

x2所以所求椭圆的方程为?y2?1． ………………………………………………4分

22x12x222(2) (i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则?y1?1①，?y2?1②．

22uuuuruuuruuur?x?x1cos??x2sin?,又设M(x，y)，因OM?cos?OA?sin?OB，故? …………7分

y?ycos??ysin?.?12(x1cos??x2sin?)2因M在椭圆上，故?(y1cos??y2sin?)2?1．

22x12x2xx222整理得(?y1)cos??(?y2)sin2??2(12?y1y2)cos?sin??1．

222xx将①②代入上式，并注意cos?sin??0，得 12?y1y2?0．

2yy1所以，kOAkOB?12??为定值． ………………………………………………10分

x1x22

2x1x22x12x222222(ii)(y1y2)?(?，故y12?y2?1． )???(1?y12)(1?y2)?1?(y12?y2)?y12y22222x12x2222?2． 又(?y1)?(?y2)?2，故x12?x2222222所以，OA+OB=x12?y12?x2=3． …………………………………………16分 ?y219．(本题满分16分)

已知数列{an}满足：a1=a2=a3=2，an+1=a1a2…an-1(n≥3)，记

22bn?2?a12?a2?L?an?a1a2Lan(n≥3)．

(1)求证数列{bn}为等差数列，并求其通项公式；

11(2)设cn?1?2?2，数列{cn}的前n项和为Sn，求证：n

bnbn?122?L?an?a1a2Lan①， 解：(1)方法一 当n≥3时，因bn?2?a12?a2222?L?an?an故bn?1?a12?a2?1?a1a2Lanan?1②． ……………………………………2分 22②-①，得 bn-1-bn-2=an?1?a1a2Lan(an?1?1)=an?1?(an?1?1)(an?1?1)=1，为常数， 所以，数列{bn}为等差数列． …………………………………………………………5分

22?a3?a1a2a3=4，故 bn=n+3． ……………………………………8分 因 b1=a12?a2方法二 当n≥3时，a1a2…an=1+an+1，a1a2…anan+1=1+an+2，

2将上两式相除并变形，得 an?1?an?2?an?1?1．……………………………………2分 于是，当n∈N*时，

22bn?a12?a2?L?an?2?a1a2Lan?2 22?a3?(a5?a4?1)?L?(an?3?an?2?1)?a1a2Lan?2 ?a12?a222?a3?(an?3?a4?n?1)?(1?an?3)?10?n?a4． ?a12?a2又a4=a1a2a3-1=7，故bn=n+3(n∈N*)．

所以数列{bn}为等差数列，且bn=n+3． ………………………………………………8分

11((n?3)(n?4)?1)2?(2) 方法一 因 cn?1?，…………………12分 ?2222(n?3)(n?4)(n?3)(n?4)(n?3)(n?4)?1111?1?故 cn?． ?1??(n?3)(n?4)(n?3)(n?4)n?3n?411111111所以 Sn?(1??)?(1??)?L?(1?， ………15分 ?)?n??4556n?3n?44n?4即 n＜Sn＜n+1． ………………………………………………………………………16分

11??1，故cn>1，Sn?n．……………………10分 方法二 因cn?1?(n?3)2(n?4)2cn?1?1111 ??1??22(n?3)(n?4)(n?2)(n?3)(n?3)(n?4)=1?

11112<1?<(1??)，

n?2n?4n?2n?211，于是Sn?n(1?)?n?1．……………………………………16分 n?2n?2故cn<1?第(2)问，为了结果的美观，将Sn放缩范围放得较宽，并且可以改为求不小于Sn的最小正整数

或求不大于Sn的最大正整数．

本题（2）的方法二是错误的，请不要采用。

1111注意cn?1? ??1??(n?3)2(n?4)2(n?2)(n?3)(n?3)(n?4)=1?

11112<1?<(1??)，

n?2n?4n?2n?211，于是Sn?n(1?)?n?1． n?2n?2故cn<1?1（这一步推理是错误的） )?n?1。

n?220．(本题满分16分)

32

设函数f(x)=ax-(a+b)x+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．

1 (1)若f?()=0，求函数f(x)的单调增区间；

3(2)求证：当0≤x≤1时，|f?(x)|≤max{f?(0),f?(1)}．(注：max{a，b}表示a，b中的

于是Sn?n(1?最大值)

1解：(1)由f?()=0，得a=b． …………………………………………………………1分

332

故f(x)= ax－2ax+ax+c．

12

由f?(x)=a(3x－4x+1)=0，得x1=，x2=1．…………………………………………2分

3列表：

111 (，1) x (-∞，) 1 (1，+∞) 333f?(x) + 0 - 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 1由表可得，函数f(x)的单调增区间是(-∞，)及(1，+∞) ．…………………………4分

3a?b2a2?b2?ab2

)?(2)f?(x)=3ax-2(a+b)x+b=3a(x?． 3a3aa?ba?b①当≥1,或≤0时，则f?(x)在[0,1]上是单调函数，

3a3a所以f?(1)≤f?(x)≤f?(0)，或f?(0)≤f?(x)≤f?(1)，且f?(0)+f?(1)=a>0．

所以|f?(x)|≤max{f?(0),f?(1)}．………………………………………………………8分

a2?b2?aba?b②当0＜≤f?(x)≤max{f?(0),f?(1)}． ＜1，即-a＜b＜2a，则?3a3a(i) 当-a＜b≤

a3a时，则0＜a+b≤． 22a2?b2?ab2a2?b2?2ab3a2?(a?b)21所以 f?(1)?＝＝≥a2＞0．

3a3a3a4所以 |f?(x)|≤max{f?(0),f?(1)}． ……………………………………………………12分 (ii) 当

aa522

＜b＜2a时，则(b?)(b?2a)＜0，即a+b－ab＜0． 22222225ab?a2?b2a?b?ab4ab?a?ba2?b2?ab2所以b?=＞＞0，即f?(0)＞．

3a3a3a3a所以 |f?(x)|≤max{f?(0),f?(1)}．

综上所述：当0≤x≤1时，|f?(x)|≤max{f?(0),f?(1)}．……………………………16分 数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每

小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4－1：几何证明选讲 如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．

证明：因AE=AC，AB为直径，

故∠OAC=∠OAE． ……………………………………………………………3分

所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC． 又∠EAC=∠PDE，

所以，∠PDE=∠POC．…………………………………………………………10分

B．选修4－2：矩阵与变换

?a0?已知圆C：x2?y2?1在矩阵A=??(a?0,b?0)对应的变换作用下变为椭圆0b??

x2y2??1，求a，b的值． 94解：设P(x,y)为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P?(x?,y?)， ?x???a0??x??x??ax,则 ????，即 …………………………………………………4分 ???y???y0by?by.???????x2y2a2x2b2y2?1上，所以 ??1． 又因为点P?(x?,y?)在椭圆?9494由已知条件可知，x2?y2?1 ，所以 a=9，b=4．

因为 a>0 ，b>0，所以 a=3，b=2． …………………………………………………10分

C．选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，求经过三点O(0，0)，A(2，的圆的极坐标方程．

解

：

设

P(?,?)??)，B(22，) 242

2

是所求圆上的任意一