陕西历年高考理科数学试题及答案汇编十二函数和导数

?

可得

，结论成立．

，

下面用数学归纳法证明．①当n=1时，②假设n=k时结论成立，即

那么n=k+1时，=即结

论成立．

由①②可知，结论对n∈N+成立．

（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥

恒成立．

设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，

当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），

∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增， 又φ（0）=0，

∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立． ∴当a≤1时，ln（1+x）≥

恒成立，（仅当x=0时等号成立）

当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，

∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0

即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0， 故知ln（1+x）≥

不恒成立，

综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．

（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+?+g（n）=

n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），

比较结果为g（1）+g（2）+?+g（n）＞n﹣ln（n+1） 证明如下：上述不等式等价于在（Ⅱ）中取a=1，可得令

则

，

， ，

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故有ln3﹣ln2

，?

，

，

上述各式相加可得

结论得证．

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