陕西历年高考理科数学试题及答案汇编十二函数和导数

故选：C． 19、解：A．f（x）=

，f（y）=

，f（x+y）=

，不满足f（x+y）=f（x）f

（y），故A错；

333

B．f（x）=x，f（y）=y，f（x+y）=（x+y），不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错； C．f（x）=

，f（y）=

，f（x+y）=

，满足f（x+y）=f（x）f

（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错．

xyx+y

D．f（x）=3，f（y）=3，f（x+y）=3，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确； 故选D．

20、解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，依次特征寻找正确选项： A选项，导数为B选项，导数为C选项，导数为D选项，导数为故选：A． 21、解：由4=2，得再由lgx=a=， 得x=． 故答案为：

a

，令其为0，解得x=±5，故A正确； ，令其为0，x=±5不成立，故B错误； ，令其为0，x=±5不成立，故C错误； ，令其为0，x=±5不成立，故D错误．

，

．

）=ln（）=p，

）=lnab=（lna+lnb），

22、解：由题意可得若p=f（q=f（

）=ln（

）≥ln（

r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），

∴p=r＜q，

故选：B

23、解：可采取排除法．

2

若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b， 即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，

又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数． 若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且成立；

=3，解得a∈?，不

9

若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；

若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且零整数，不成立． 故选：A．

x

24、解：∵f'（x）=e， ∴f'（0）=e0=1．

∵y=e在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直 ∴点P处的切线斜率为﹣1． 又y'=﹣

，设点P（x0，y0）

x

=3，解得a=﹣不为非

∴

∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1 ∴y0=1

∴点P（1，1） 故答案为：（1，1） 解答题 1、解：（Ⅰ）

由题意知f'（﹣c）=0，即得ck﹣2c﹣ck=0，（*） ∵c≠0，∴k≠0．

2

由f'（x）=0得﹣kx﹣2x+ck=0， 由韦达定理知另一个极值点为x=1（或（Ⅱ）由（*）式得

，即

．

）．

2

，

当c＞1时，k＞0；当0＜c＜1时，k＜﹣2．

（i）当k＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣c）和（1，+∞）内是减函数，在（﹣c，1）内是增函数． ∴

，

，

由及k＞0，解得．

10

（ii）当k＜﹣2时，f（x）在（﹣∞，﹣c）和（1，+∞）内是增函数，在（﹣c，1）内是减函数． ∴

，

恒成立．

综上可知，所求k的取值范围为2、解：（Ⅰ）

∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0 即 a+a﹣2=0，解得 a=1 （Ⅱ）

，

． ，

∵x≥0，a＞0， ∴ax+1＞0

①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）＞0． ∴f（x）的单调增区间为（0，+∞） ②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0解得由

∴f（x）的单调减区间为

，单调增区间为

（Ⅲ）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1 当0＜a＜2时，由（II）②知，

处取得最小值

，

综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞） 3、解：（Ⅰ）f'（x）=

，g'（x）=

有已知得解得：a=，x=e

2

2

∴两条曲线的交点坐标为（e，e） 切线的斜率为k=f'（e）=∴切线的方程为y﹣e=（Ⅱ）由条件知h（x）=∴h′（x）=

﹣=

2

2

（x﹣e）

﹣alnx（x＞0），

，

11

①当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a．

2

∴当0＜x＜4a时，h′（x）＜0，

2

h（x）在（0，4a）上单调递减；

2

当x＞4a时，h′（x）＞0，

2

h（x）在（4a，+∞）上单调递增．

2

∴x=4a是h（x）在（0，+∞）上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点．

22

∴最小值φ（a）=h（4a）=2a﹣aln（4a）=2a[1﹣ln （2a）]． ②当a≤0时，h′（x）=

＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值．

2

故h（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）=2a[1﹣ln （2a）]（a＞0）． （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知φ′（a）=﹣2ln2a对任意的a＞0，b＞0

=﹣

φ′（φ′（

）=﹣2ln（2×）=﹣2ln（2×

）≤

=﹣ln4ab，①

）=﹣ln（a+b）≤﹣ln4ab，② ）=﹣2ln

=﹣ln4ab，③

≤φ′（

）．

2

故由①②③得φ′（

4、解：（Ⅰ）设Pk﹣1（xk﹣1，0）， 由y=e得

点Qk﹣1处切线方程为

由y=0得xk=xk﹣1﹣1（2≤k≤n）．

（Ⅱ）x1=0，xk﹣xk﹣1=﹣1，得xk=﹣（k﹣1），

Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+?+|PnQn| =

x

5、解：（Ⅰ）由题设易知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，

∴g′（x）=，令g′（x）=0，得x=1，

当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）的单调递减区间是（0，1）， 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞）， 因此x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， ∴最小值为g（1）=1； （Ⅱ）

=﹣lnx+x，

12