概率论与数理统计教程习题（第四章大数定律与中心极限定理）

习题10（切比雪夫不等式）

一．填空题

1. 设随机变量X的数学期望E(X)??，方差D(X)??2，则由切比雪夫不等式，得

P(X???3?)? .

2. 随机掷6枚骰子，用X表示6枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得

P(15?X?27)? . 3. 若二维随机变量(X,Y)满足，E(X)??2，E(Y)?2，D(X)?1，D(Y)?4，

R(X,Y)??0.5，则由切比雪夫不等式，得P(X?Y?6)? . 4. 设X1,X2,?,Xn,?是相互独立、同分布的随机变量序列，且E(Xi)?0，D(Xi)一致有界(i?1,2,?,n,?)，则limP(n???Xi?1ni?n)? .

二．选择题

1. 若随机变量X的数学期望与方差都存在，对a?b，在以下概率中，（ ）可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。

① P(a?X?b)； ② P(a?X?E(X)?b)；

③ P(?a?X?a)； ④ P(X?E(X)?b?a).

2. 随机变量X服从指数分布e(?)，用切比雪夫不等式估计P(X???① ?； ② ? ③ ?； ④

241?)? （ ）.

1?.

1

三．解答题

1. 已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X是一个随机变量，若E(X)?7300，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。 D(X)?7002，

2. 如果X1,X2,?,Xn是相互独立、同分布的随机变量序列，E(Xi)??，

1nD(Xi)?8(i?1,2,?,n).记X??Xi，由切比雪夫不等式估计概率p(X???4).

ni?1

3. 设X1,X2,?,Xn,?是相互独立、同分布的随机变量序列，E(Xi)?0，D(Xi)??2，

E(Xi4)存在，且一致有界(i?1,2,?,n,?).对任意实数??0，证明1n2limP(?Xi??2??)?1. n??ni?1

2

11（特征函数）

一．填空题

1. 若随机变量X服从正态分布N(2,4)，则P(X?3)? . P(0?X?4)? ，P(X?1)? . 2. 若随机变量X~N(?,?2)，且P(X?c)?P(X?c)，则c? . 3. 若随机变量X~N(2,?2)，且P(2?X?4)?0.3，则P(X?0)? . 4. 若X服从正态分布N(?,?2)，记P(??k??X???k?)??.

当??0.9时，k? ，当??0.95时，k? .

5. 随机变量X1,X2相互独立，且都服从标准正态分布，记Y?2?3X1?4X2， 则Y概率密度fY(y)? .

二．选择题

1n6. 若随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且Xi~N(?,?)(i?1,2,?,n)，则D(?Xi)?ni?12（ ）

① ?； ② n?； ③ ?/n； ④ ?/n.

27. 若随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N(?,?).设??X?Y，??X?Y，则

22222cov(?,?)?（ ）.

① 2?； ② 1； ③ ?1； ④ 0.

8. 若随机变量X,Y满足X~N(1,3)，Y~N(0,4)，R(X,Y)??1/2，则D(（ ）.

① 5； ② 4； ③ 3； ④ 2.

222XY?)?32

3

三．解答题

1. 某种电池的寿命X（单位：h）服从正态分布N(300,352).（1）求寿命大于250小时的概率，（2）求x，使寿命在300?x之间的概率不小于0.9.

2. 测量某一目标的距离时，随机误差X~N(0,402)（单位：m）.

（1）求P(X?30)，

（2）若作三次独立测量，求至少有一次测量误差的绝对值不超过30米的概率。

3. 一商店对某种家电采用先使用后付款的方式销售，使用寿命X（单位：年）与销售单价Y（单位：元）关系如下：

X Y X<2 1500 2≤X<4 2000 4≤X<6 2500 X≥6 3000 若X~N(5, 4), 求平均售价。

4. 若随机变量X~N(0,1)，设Y?e，求随机变量Y的概率密度fY(y).

4

X