2008年二轮复习高中数学方法讲解：12、放缩法

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2008年二轮复习高中数学方法讲解：12、放缩法

河北省井陉一中 梁彦庭

特别说明：

《2008年二轮复习高中数学方法讲解》是由梁彦庭老师参考诸多教学资料，结合自己的多年高三及补习班教学实践及多年写稿经验，在教学之余编辑而成．

旨在专项突破。

梁彦庭老师在数学教学科研上也只仅仅是迈了一小步，恳请各位老师和同学们在交流使用中向我提出您的宝贵意见！谢谢！

十二、放缩法:

将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。

放缩法的方法有：

⑴添加或舍去一些项，如：a2?1?a；n(n?1)?n ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶

log3?lg5?(利用基本不等式，如：

lg3?lg52)?lg15?lg16?lg4； 2n(n?1)?n?(n?1) 2⑷利用常用结论：

Ⅰ、k?1?k?1k?1?k?12k；

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Ⅱ、度大）

Ⅲ、

小）

11111111 ； （程??????k2k(k?1)k?1kk2k(k?1)kk?1111111???(?) ； （程度22kk?1(k?1)(k?1)2k?1k?1例1.若a, b, c, d?R+，求证：

1?abcd????2

a?b?db?c?ac?d?bd?a?cabcd???【巧证】：记m =

a?b?db?c?ac?d?bd?a?c ∵a, b, c, d?R+

abcd????1

a?b?c?da?b?c?ac?d?a?bd?a?b?cabcd????2 m?a?ba?bc?dd?c ∴m? ∴1 < m < 2 即原式成立

例2.当 n > 2 时，求证：logn(n?1)logn(n?1)?1 【巧证】：∵n > 2 ∴logn(n?1)?0,logn(n?1)?0 ∴

?logn(n2?1)??logn(n?1)?logn(n?1)?logn(n?1)logn(n?1)????? ?22?????lognn2? ????1 2??222 ∴n > 2时, logn(n?1)logn(n?1)?1 例3.求证： 【巧证】：

1111??????2 122232n21111??? n2n(n?1)n?1nwww.canpoint.cn 010-58818067 58818068 canpoint@188.com

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∴

1111111111??????1?1????????2??2 2222223n?1nn123n十二、放缩法:

巧练一：设x > 0, y > 0,a?x?yxy, b?，求证：?1?x?y1?x1?ya < b

巧练一：【巧证】：

x?yxyxy ????1?x?y1?x?y1?x?y1?x1?y巧练二：求证：lg9?lg11 < 1

lg9?lg11??lg99??2? 巧练二：【巧证】：lg9?lg11???????????1

22?????2?222巧练三：logn(n?1)logn(n?1)?1 巧

练

三

：

【

2巧

2证】：

?logn(n2?1)??lognn2?logn(n?1)logn(n?1)???????1 2???2?114???0 巧练四：若a > b > c, 则

a?bb?cc?a巧练四： 【巧

2证】：

111??2?2a?bb?c(a?b)(b?c)??24??? ?(a?b)?(b?c)?a?c??1111????2?1(n?R?,n?2) 巧练五：?nn?1n?2n11111n2?n巧练五：【巧证】：左边??2?2???2??2?1

nnnnnn111?????1 n?1n?22n11?n?1 巧练六：【巧证】： ?n?中式?2nn?1巧练六：?12巧练七：已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn <

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cn (n≥3, n?R*)

a??b?巧练七：【巧证】： ∵???????1，又

?c??c??a??a??b??b??????,????? ?c??c??c??c?a??b? ∴???????1

?c??c?

nnn2n222a, b, c > 0, ∴

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