高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题含答案

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）

一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列?an?的前n项的和Sn，满足2（1）数列?an?的通项公式； （2）设bn?Sn?an?1，试求：

11，数列?bn?的前n项的和为Bn，求证：Bn?

anan?122222解：（1）由已知得4Sn?(an?1)，n?2时，4Sn?1?(an?1?1)，作差得：4an?an?2an?an?1?2an?1，所以(an?an?1)(an?an?1?2)?0，又因为?an?为正数数列，所以an?an?1?2，即?an?是公差为2的等差数列，由

2S1?a1?1，得a1?1，所以an?2n?1 11111??(?)，所以 （2）bn?anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?141n?12真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列?an?的前n项的和,Sn?an??2?，n?1,2,3,3332n（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn?，n?1,2,3,Snn+1

，证明：

?Ti?i?1n3. 2解:(Ⅰ)由Sn=an－×2+,n=1,2,3，…,①得a1=S1=a1－×4+所以a1=2 再由①有Sn－1=an－1－×2+,n=2,3，4,…

将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=(an－an－1)－×(2－2),n=2,3,…

整理得:an+2=4(an－1+2),n=2,3,…,因而数列{an+2}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2=4×41nnn

=4,n=1,2,3,…,因而an=4－2,n=1,2,3,…,

(Ⅱ)将an=4－2代入①得Sn=×(4－2)－×2+=×(2－1)(2－2) =×(2－1)(2－1) Tn==×=×(－) 所以,

n+1

nn

n

n

n

n+1

n+1

n+1

n

n－1

n

n

n－

n+1

n

n

?Ti=?(－)=×(－

i?1i?1nn12n?1?1)<

二．先放缩再求和

1．放缩后成等比数列，再求和

例2．等比数列

2?an?中，a1，前n项的和为Sn，且S7,S9,S8成等差数列． ??12an1设bn?，数列?bn?前n项的和为Tn，证明：Tn?．

31?an解：∵A9?A7?a8?a9，A8?A9??a9，a8?a9??a9，∴公比q?a91??． a82∴an1?(?)n．bn?214n11?(?)n2?11． ?nnn4?(?2)3?2n（利用等比数列前n项和的模拟公式Sn?Aq?A猜想）

11(1?2)111122?1(1?1)?1． ∴Bn?b1?b2??bn???????13?23?22333?2n32n1?2真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列

?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).

?an?的通项公式；

b?1b?1（II）若数列?bn?满足44（I）求数列

124bn?1?(an?1)bn(n?N*)，证明：数列?bn?是等差数列； an1aan*（Ⅲ）证明：??1?2?...?n?(n?N).

23a2a3an?12

（I）解：

an?1?2an?1(n?N*),

?an?1?1?2(an?1),??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列 ?an?1?2n.即 an?22?1(n?N*).

（II）证法一：

4k1?14k2?1...4kn?1?(an?1)kn.

?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, ①

2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ② ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn,

即(n?1)bn?1?nbn?2?0,nbn?2?(n?1)bn?1?2?0. ③－④，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,

即 bn?2?2bn?1?bn?0,?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N),?（III）证明：

*?bn?是等差数列 ak2k?12k?11?k?1??,k?1,2,...,n, ak?12?12(2k?1)222．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{an}满足：a1?1，an?1证明：因为an?1即an?1?(1?nn?1．求证： )a(n?1,2,3?)a?a?3?nn?1nnn?122?(1?n)an，所以an?1与an同号，又因为a1?1?0，所以an?0， 2nnan?0，即an?1?an．所以数列{an}为递增数列，所以an?a1?1， n212n?1nn即an?1?an?nan?n，累加得：an?a1??2???n?1．

2222212n?1112n?1令Sn??2???n?1，所以Sn?2?3???n，两式相减得：

222222211111n?1n?1n?1Sn??2?3???n?1?n，所以Sn?2?n?1，所以an?3?n?1， 22222222n?1故得an?1?an?3?n?1．

2?an?3．放缩后成等差数列，再求和

例4．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an?an?2Sn.

2an2?an?12(1)求证：Sn?；

4SS?1(2)求证：n?S1?S2?????Sn?n?1

2222解：（1）在条件中，令n?1，得a1?a1?2S1?2a1，?a1?0?a1?1，又由条件an?an?2Sn有

2an?1?an?1?2Sn?1，上述两式相减，注意到an?1?Sn?1?Sn得

(an?1?an)(an?1?an?1)?0?an?0?an?1?an?0∴an?1?an?1

n(n?1)所以，an?1?1?(n?1)?n，Sn?

2n(n?1)1n2?(n?1)2an?an?1???所以Sn? 2224nn(n?1)n?1（2）因为n?n(n?1)?n?1，所以，所以 ??222n2?3nSn?1?112nn(n?1)Sn????????；S1?S2??Sn?

222222222练习：

1.（08南京一模22题）设函数f(x)?22123x?bx?，已知不论?,?为何实数，恒有f(cos?)?0且44f(2?sin?)?0.对于正数列?an?，其前n项和Sn?f(an)，(n?N*).

(Ⅰ)求实数b的值；（II）求数列（Ⅲ）若cn??an?的通项公式；

11,n?N?，且数列?cn?的前n项和为Tn，试比较Tn和的大小并证明之. 1?an61（利用函数值域夹逼性）；（II）an?2n?1； 211?11?1?11?1T?c?c?c?…???+c????（Ⅲ）∵cn?，∴n123n?????

2?32n?3?6(2n?2)22?2n?12n?3?n2.（04全国）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?2an?(?1)，n?1 （1）写出数列{an}的前三项a1，a2，a3；（2）求数列{an}的通项公式；

1117????? （3）证明：对任意的整数m?4，有

a4a5am8解：(Ⅰ)b?分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；

⑵由已知得：an?Sn?Sn?1?2an?(?1)?2an?1?(?1)化简得：an?2an?1?2(?1)n?1nn?1（n>1）

anan?1anan?122??2?2???2[?] ,nn?1nn?133(?1)(?1)(?1)(?1)an22?故数列{}是以为首项,公比为?2的等比数列. ?a?1(?1)n33an212n?2n?1??(?)(?2)∴a?[2?(?1)n] nn33(?1)32n?2∴数列{an}的通项公式为：an?[2?(?1)n].

3故

⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边

=

11??a4a5?1311?[2?3?am22?12?1?1]，如果我们把上式中的分母中的?1去掉，就可利用等比m?2m2?(?1)数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：

11?， 2223111，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m进行?342222?1分类讨论，（1）当m为偶数(m?4)时，

（2）当m是奇数(m?4)时，m?1为偶数，

1117????所以对任意整数m?4，有?。 a4a5am811??22?123?111??342?12?1本题的关键是并项后进行适当的放缩。 3.（07武汉市模拟）定义数列如下：a1??2,an?1?an?an?1,n?N?

?2求证：（1）对于n?N恒有an?1?an成立；（2）当n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立； （3）1?122006?111?????1 a1a2a2006分析：（1）用数学归纳法易证。

2?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)?an?1?an?1(an?1?1)

……a2?1?a1(a1?1)

以上各式两边分别相乘得：an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2

1111?????1， （3）要证不等式1?2006?a1a2a20062111????可先设法求和：，再进行适当的放缩。 a1a2a20061112006???1??22006 ?1又a1a2?a2006?a1a1?1a2007?1a1a2?a200611?1??1?2006?原不等式得证。

a1a2?a20062（2）由an?1本题的关键是根据题设条件裂项求和。

用放缩法处理数列和不等问题（学生版）

一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列?an?的前n项的和Sn，满足2（1）数列?an?的通项公式；

Sn?an?1，试求：

11，数列?bn?的前n项的和为Bn，求证：Bn?

anan?1241n?12真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列?an?的前n项的和,Sn?an??2?，n?1,2,3,333（2）设bn?

2n（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn?，n?1,2,3,Sn二．先放缩再求和

1．放缩后成等比数列，再求和

例2．等比数列

2，证明：

?Ti?i?1n3. 2?an?中，a1，前n项的和为Sn，且S7,S9,S8成等差数列． ??12an1设bn?，数列?bn?前n项的和为Tn，证明：Tn?．

31?an真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列

?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).

?an?的通项公式；

b?1b?1（II）若数列?bn?满足44（I）求数列

124bn?1?(an?1)bn(n?N*)，证明：数列?bn?是等差数列； an1aan*（Ⅲ）证明：??1?2?...?n?(n?N).

23a2a3an?122．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{an}满足：a1?1，an?1?(1?nn?1)a(n?1,2,3?)a?a?3?．求证： nn?1n2n2n?123．放缩后成等差数列，再求和

例4．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an?an?2Sn.