高中数学一题多变 利用导数研究函数零点或曲线交点问题

高中数学一题多变 利用导数研究函数零点或曲线交点问题

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【经典母题】设函数f(x)＝ln x＋，m∈R. 讨论函数g(x)＝f'?x?－零点的个数.

x3

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【迁移探究1】设函数f(x)＝ln x＋，m∈R. 已知函数g(x)＝f'?x?－有两个零点，求m的范围？

x32

【答案】 0＜m＜ 3

【迁移探究2】若条件改为有零点，求m的范围？ 【答案】m?2 3【解析】 由题设g(x)＝

f'?x?x1mx

－＝－2－(x＞0)， 3xx3

13

令g(x)＝0，得m＝－x＋x(x＞0).

31

设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)，

3

则φ′(x)＝－x＋1＝－(x－1)(x＋1)，

2

当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减. ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， 因此x＝1也是φ(x)的最大值点. 2

∴φ(x)的最大值为φ(1)＝. 3

又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，

则当m?2时，函数g(x)有零点. 3规律方法 函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化,

这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根的个数求参数的取值范围. 常用两种方法：

(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题； (2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.

处理策略：变量分离；直接讨论； 讨论零点个数的答题模板 第一步：求函数的定义域；

第二步：分类讨论函数的单调性、极值；

第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.

【变式训练】

1.函数f(x)＝(ax＋x)e，其中e是自然对数的底数，a∈R.

2

x

(1)当a>0时，解不等式f(x)≤0；

(2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解.

(2)当a＝0时，方程即为xex＝x＋2， 由于ex>0，所以x＝0不是方程的解， 2

所以原方程等价于ex－－1＝0.

x2

令h(x)＝ex－－1，

x

2

因为h′(x)＝ex＋2>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，

x所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数， 1

又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－2>0，h(－3)＝e－3－<0，

3h(－2)＝e－2>0，

所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数t的所有值为{－3，1}. 2．设函数

，若对于在定义域内存在实数满足

，则称函数

为“局部奇函数”．若函数

是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）