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第一章 随机事件和概率
第1节 重要概念、定理和公式的剖析
【例1.2】设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.
(1)A出现,B,C都不出现; (2)A,B都出现,C不出现; (3)三个事件都出现; (4)三个事件中至少有一个出现; (5)三个事件都不出现; (6)不多于一个事件出现; (7)不多于两个事件出现; (8)三个事件至少有两个出现; (9)A,B至少有一个出现,C不出现;(10)A,B,C中恰好有两个出现. 【解】(1)ABC. (2)ABC. (3)ABC. (4)A?B?C. (5)ABC.
(6)ABC?ABC?ABC?ABC或AB?BC?AC.
(7)ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC或ABC. (8)ABC?ABC?ABC?ABC或AB?BC?AC. (9)(A?B)C.
(10)ABC?ABC?ABC.
【例1.5】已知P(A)= P(B)= P(C)=
11,P(AB)=0,P(AC)= P(BC)=,则
64A,B,C全部发生的概率为 . 【解】P(ABC)=1-P(A?B?C)
【例1.6】P(A)?0.7,P(A?B)?0.3,则P(AB)? . 【解】因为P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.3,
故 P(AB)?0.4.
P(AB)?1?P(AB)?1?0.4?0.6.
【例1.7】假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中随意取出一种,结
=1-P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) =1?32317??P(ABC)?1???0?(因为ABC?AB). 464312果不是三等品,则取到的是一等品的概率为 .
【解】Ai={取到的一个产品为i等品} i=1, 2, 3. 显然,A1,A2,A3为互斥事件组,由题意有
P(A3)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1|A3)?
90, 100P(A1A3)P[A1(A1?A2)]P(A1)60%2????.
90%3P(A3)P(A3)P(A3)【例1.8】设0?P(A)?1,0?P(B)?1,P(A|B)?P(A|B)?1, 则 【 】 (A)事件A与B互不相容.
(C)事件A和B互不独立.
(B)事件A与B互相对立.
(D)事件A和B相互独立.
【解】因为P(A|B)?P(A|B)?P(A|B)?1?P(A|B)?1, 所以P(A|B)?P(A|B)?0, 即
P(A|B)?P(A|B)
?P(AB)P(AB) ?P(B)P(B)
? (PAB)[1?P(B)]?P(B)P(AB)? (PAB)?P(B)[P(AB)?P(AB)]?P(B)P[A(B?B)]?P(B)P(A).
故应选(D).
【例1.9】设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充分必要条件是 【 】 (A)A与BC独立. (B)AB与A?C独立. (C)AB与AC独立. (D)A?B与A?C独立. 【解】A,B,C相互独立的充要条件:
P(AB)?P(A)(B),P(A?C)P(ABC)?P(A)(B)(C)P(A)(C),P?(BC)P(BC
由P[A(BC)]?P(A)P(BC)?P(A)P(B)?P(C),可知(A)入选. 注:由前面关于事件独立性的注(8)即可知(A)为正确答案. ○
【例1.10】设10件产品有种2件次品,8件正品. 现每次从中任取一件产品,且取后不放
回,试求下列事件的概率: (1) 前两次均取到正品; (2) 第二次取到次品;
(3) 若已知第二次取到次品,则第一次也取到次品.
【解】设Ai?{第i次取到次品},i=1, 2. (1)前两次均取到正品的概率为
P(A1B2)?P(A1)P(A2|A1)
8728 ?×=10945
A1构成一个完备事件组,于是由全概率公式有 (2)A1,P(A2)?P(A2|A1)P(A1)?P(A2|A1)P(A1)
12281 ?×?×=9109105
(3)由Bayes公式有
12×P(A2|A1)P(A1)9101P(A1|A2)???.
1P(A2)95
【例1.13】把10本书随意放在书架上,求其中指定的5本书放在一起的概率. 【解】基本事件总数10!,有利于将指定的5本书放在一起的基本事件个数为6!·5!(其中
6!是指5本书当做一个元素进行全排列的总数,5!是5本书相互之间进行全排列的总数),故
【例1.14】从5双不同的鞋子中任取4只,求此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概
率. 【分析】本例的基本事件总数容易计算,即为C10, 但有利事件数相对较难,下面给出几种不同解法.
【解法一】首先从5双鞋中取出一双,并将此两只鞋全部取出,然后从剩下的4双中取出两
双,再在每双中各取一只,于是取法共有C5C2C4C2C2种.
显然,这样取得的4只鞋仅有一双成对,而4只鞋配成两双的取法有C5种,故取得的4只鞋至少有一双的取法有C5C2C4C2C2+C5种. 故所求概率
122114P?(C5C2C4C2C2?C52)/C10?122112212211413. 21【解法二】设A表示“至少有两只鞋子成一双”,于是A表示“没有成双的鞋子”,故有利于A的基本事件数为C5C2C2C2C2,即从5双中取出4双再从每双中各取1只的取法总数,所以
11114P(A)?1?P(A)?1?C54C2C2C2C2/C10?4111113. 21注:(1)从上面的例题可以发现,概率的求逆公式P(A)?1?P(A)常可使问题大为简化,○
这是概率计算中的一个重要技巧,必须熟练掌握,而且常用在“至少”或“至多”
的问题中.
(2)古典概型中概率的计算是一个难点,但并不是考试的重点,故只需掌握较简单的
古典概型的计算即可. (3)【例1.14】有下面易犯的错误的解法,试指出错误所在:
首先从5双鞋中任取1双,其2只全部取出,然后在剩下的8只鞋中任取2只,于
是总的取法为C5C2C8,并且这样取出的4只鞋可保证至少有两只成一双,故所求概率为P(A)?C5C2C8/C10.
【例1.15】在长度为a的线段内任取两点将其分成三段,求它们可以构成一个三角形的概
率.
【解】设线段被分成的三段长分别为x,y和a-x-y,则样本空间为由x≥1,y≥0及x+y≤a
所构成的图形,其面积SΔAOB=
122412212a,有利于事件A(即x,y,a-x-y三段构成三角形)2的基本事件集:由线段x,y,a-x-y所围成的三角形,其面积为SΔDCE(见图1-1). 由三角形两边之和大于第三边的性质,有
aaa, 0≤y≤, 0≤a-x-y≤. 222aaa≤x+y≤a(它们构成三角形DCE),则其面积SΔ?0≤x≤, 0≤y≤,
2221a2(),于是由几何概型的概率计算公式 DCE=
221a2()22?1. P(A)?124a20≤x≤
yC(0,a/2)E
OD(a/2,0)Bx
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