文登考研概率经典论例题解析

第一章 随机事件和概率

第1节 重要概念、定理和公式的剖析

【例1.2】设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.

（1）A出现，B，C都不出现； （2）A，B都出现，C不出现； （3）三个事件都出现； （4）三个事件中至少有一个出现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现； （7）不多于两个事件出现； （8）三个事件至少有两个出现； （9）A，B至少有一个出现，C不出现；（10）A，B，C中恰好有两个出现. 【解】（1）ABC. （2）ABC. （3）ABC. （4）A?B?C. （5）ABC.

（6）ABC?ABC?ABC?ABC或AB?BC?AC.

（7）ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC或ABC. （8）ABC?ABC?ABC?ABC或AB?BC?AC. （9）(A?B)C.

（10）ABC?ABC?ABC.

【例1.5】已知P（A）= P（B）= P（C）=

11，P（AB）=0，P（AC）= P（BC）=，则

64A，B，C全部发生的概率为 . 【解】P(ABC)=1-P(A?B?C)

【例1.6】P(A)?0.7,P(A?B)?0.3,则P(AB)? . 【解】因为P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.3,

故 P(AB)?0.4.

P(AB)?1?P(AB)?1?0.4?0.6.

【例1.7】假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一种，结

=1-P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) =1?32317??P(ABC)?1???0?(因为ABC?AB). 464312果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 .

【解】Ai={取到的一个产品为i等品} i=1, 2, 3. 显然，A1,A2,A3为互斥事件组，由题意有

P(A3)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1|A3)?

90, 100P(A1A3)P[A1(A1?A2)]P(A1)60%2????.

90%3P(A3)P(A3)P(A3)【例1.8】设0?P(A)?1,0?P(B)?1,P(A|B)?P(A|B)?1, 则 【 】 （A）事件A与B互不相容.

（C）事件A和B互不独立.

（B）事件A与B互相对立.

（D）事件A和B相互独立.

【解】因为P(A|B)?P(A|B)?P(A|B)?1?P(A|B)?1, 所以P(A|B)?P(A|B)?0， 即

P(A|B)?P(A|B)

?P(AB)P(AB) ?P(B)P(B)

? (PAB)[1?P(B)]?P(B)P(AB)? (PAB)?P(B)[P(AB)?P(AB)]?P(B)P[A(B?B)]?P(B)P(A).

故应选（D）.

【例1.9】设A，B，C三个事件两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是 【 】 （A）A与BC独立. （B）AB与A?C独立. （C）AB与AC独立. （D）A?B与A?C独立. 【解】A，B，C相互独立的充要条件：

P(AB)?P(A)(B),P(A?C)P(ABC)?P(A)(B)(C)P(A)(C),P?(BC)P(BC

由P[A(BC)]?P(A)P(BC)?P(A)P(B)?P(C),可知（A）入选. 注：由前面关于事件独立性的注（8）即可知（A）为正确答案. ○

【例1.10】设10件产品有种2件次品，8件正品. 现每次从中任取一件产品，且取后不放

回，试求下列事件的概率： （1） 前两次均取到正品； （2） 第二次取到次品；

（3） 若已知第二次取到次品，则第一次也取到次品.

【解】设Ai?{第i次取到次品}，i=1, 2. （1）前两次均取到正品的概率为

P(A1B2)?P(A1)P(A2|A1)

8728 ?×=10945

A1构成一个完备事件组，于是由全概率公式有 （2）A1，P(A2)?P(A2|A1)P(A1)?P(A2|A1)P(A1)

12281 ?×?×=9109105

（3）由Bayes公式有

12×P(A2|A1)P(A1)9101P(A1|A2)???.

1P(A2)95

【例1.13】把10本书随意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率. 【解】基本事件总数10！，有利于将指定的5本书放在一起的基本事件个数为6！·5！（其中

6！是指5本书当做一个元素进行全排列的总数，5！是5本书相互之间进行全排列的总数），故

【例1.14】从5双不同的鞋子中任取4只，求此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概

率. 【分析】本例的基本事件总数容易计算，即为C10, 但有利事件数相对较难，下面给出几种不同解法.

【解法一】首先从5双鞋中取出一双，并将此两只鞋全部取出，然后从剩下的4双中取出两

双，再在每双中各取一只，于是取法共有C5C2C4C2C2种.

显然，这样取得的4只鞋仅有一双成对，而4只鞋配成两双的取法有C5种，故取得的4只鞋至少有一双的取法有C5C2C4C2C2+C5种. 故所求概率

122114P?(C5C2C4C2C2?C52)/C10?122112212211413. 21【解法二】设A表示“至少有两只鞋子成一双”，于是A表示“没有成双的鞋子”，故有利于A的基本事件数为C5C2C2C2C2,即从5双中取出4双再从每双中各取1只的取法总数，所以

11114P(A)?1?P(A)?1?C54C2C2C2C2/C10?4111113. 21注：（1）从上面的例题可以发现，概率的求逆公式P(A)?1?P(A)常可使问题大为简化，○

这是概率计算中的一个重要技巧，必须熟练掌握，而且常用在“至少”或“至多”

的问题中.

（2）古典概型中概率的计算是一个难点，但并不是考试的重点，故只需掌握较简单的

古典概型的计算即可. （3）【例1.14】有下面易犯的错误的解法，试指出错误所在：

首先从5双鞋中任取1双，其2只全部取出，然后在剩下的8只鞋中任取2只，于

是总的取法为C5C2C8,并且这样取出的4只鞋可保证至少有两只成一双，故所求概率为P(A)?C5C2C8/C10.

【例1.15】在长度为a的线段内任取两点将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概

率.

【解】设线段被分成的三段长分别为x，y和a-x-y，则样本空间为由x≥1，y≥0及x+y≤a

所构成的图形，其面积SΔAOB=

122412212a，有利于事件A（即x，y，a-x-y三段构成三角形）2的基本事件集：由线段x，y，a-x-y所围成的三角形，其面积为SΔDCE（见图1-1）. 由三角形两边之和大于第三边的性质，有

aaa, 0≤y≤, 0≤a-x-y≤. 222aaa≤x+y≤a(它们构成三角形DCE),则其面积SΔ?0≤x≤, 0≤y≤,

2221a2()，于是由几何概型的概率计算公式 DCE=

221a2()22?1. P(A)?124a20≤x≤

yC(0,a/2)E

OD(a/2,0)Bx