2019年高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质优化练习新人教A版必修5

第2课时 等比数列的性质

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．如果数列{an}是等比数列，那么( ) A．数列{a2

n}是等比数列 B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lg an}是等比数列 D．数列{nan}是等比数列

解析：设b2

bn＋1a2n＋1n＝an，则b＝2＝?nan?an＋1?a?n?2?

＝q2，

∴{b2an＋1n}为等比数列；2a＝2an＋1－an≠常数；

n当an<0时，lg an无意义；设cn＝nan， 则

cn＋1c＝n＋an＋1na＝n＋1

·q≠常数． nnn答案：A

2．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于( ) A．9 B．3 C．－3

D．－9

解析：a1＝a2－3，a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，

由于a2

2

1，a3，a4成等比数列，a3＝a1a4，即 (a2＋3)＝(a2－3)(a2＋6)，解得a2＝－9. 答案：D

3．在正项等比数列{a2

n}中，a1和a19为方程x－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( A．16 B．32 C．64

D．256

解析：由已知，得a1a19＝16. 又∵a2

1·a19＝a8·a12＝a10， ∴a2

8·a12＝a10＝16. 又an>0，∴a10＝4， ∴a3

8·a10·a12＝a10＝64. 答案：C

4．在等比数列{aaa29

n}中，若a3a5a79a11＝243，则a的值为( )

11

A．9 B．1 C．2

D．3

) 1

16

a2a2591q6

解析：∵a3a5a7a9a11＝aq＝243，∴＝10＝a1q＝243＝3.

a11a1q5301

答案：D

1

5．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )

4A．2 1C. 2

B．1 1D. 8

a4123

解析：由题意可得a3a5＝a4＝4(a4－1)?a4＝2，所以q＝＝8?q＝2，故a2＝a1q＝.

a12

答案：C

6．等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5＝________. 解析：由题意，得a1＋a2＝1，a3＋a4＝(a1＋a2)q＝9，∴q＝9. 又an>0，∴q＝3.

故a4＋a5＝(a3＋a4)q＝9×3＝27. 答案：27

1a1＋a3＋a5＋a7

7．已知等比数列{an}的公比q＝－，则＝________.

2a2＋a4＋a6＋a8解析：

2

2

a1＋a3＋a5＋a7a1＋a3＋a5＋a71

＝＝＝－2.

a2＋a4＋a6＋a8a1q＋a3q＋a5q＋a7qq答案：－2

8．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b＝________. 解析：因为三个正数a，b，c成等比数列，所以b＝ac＝(5＋26)(5－26)＝1，因为b>0，所以b＝1. 答案：1

9．已知等比数列{an}为递增数列，且a5＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，求数列{an}的通项公式． 解析：设数列{an}的首项为a1，公比为q. ∵a5＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，

?a1·q＝a1·q， ①?∴??q2＋＝5q， ②?

2

8

9

2

2

2

由①，得a1＝q， 1由②，得q＝2或q＝.

2又数列{an}为递增数列， ∴a1＝q＝2，∴an＝2.

n 2

1*

10．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N)，且a2＋a4＋a6＝9，求log(a5＋a7＋a9)

3的值．

解析：∵log3an＋1＝log3an＋1， 即log3an＋1－log3an＝log3∴

an＋1

＝1. anan＋1

＝3. an∴数列{an}是等比数列，公比q＝3.

11313

则log(a5＋a7＋a9)＝log[q·(a2＋a4＋a6)]＝log[3·9]＝－5.

333

[B组 能力提升]

1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a5，a2＝1，则a1＝( ) 1A. 2C.2

解析：∵a3·a9＝a6＝2a5，∴q＝??＝2.

a又q>0，∴q＝2.∴a1＝＝答案：B

2．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a5成等比数列，则a2等于( ) A．－4 C．3

2

2

2

2

2

B.

2 2

D．2

?a6?2?5?

a2q12

＝2. 2

B．2 D．－3

解析：∵a1，a2，a5成等比数列，∴a2＝a1·a5. ∴a2＝(a2－d)·(a2＋3d)， 即a2＝(a2－2)(a2＋6)．∴a2＝3. 答案：C

3．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a7＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则

2

22

b6b8＝________.

解析：∵2a3－a7＋2a11＝2(a3＋a11)－a7 ＝4a7－a7＝0，

∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4. ∴b6b8＝b7＝16. 答案：16

4．若a，b是函数f(x)＝x－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数

3

2

22

2

2

可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________． 解析：不妨设a>b，由根与系数的关系得a＋b＝p，a·b＝q，则a>0，b>0，则a，－2，b为等比数列，a，b，－2成等差数列，则a·b＝(－2)＝4，a－2＝2b，∴a＝4，b＝1，∴p＝5，q＝4，所以p＋q＝9. 答案：9

5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝解析：由an＋1＝所以

1

(n∈N)，求数列{an}的通项公式． an＋2

2

an*

12，得＝＋1. an＋2an＋1ananan＋1

1

＋1＝2(＋1)．

an1

又a1＝1，所以＋1＝2，

a1

1

所以数列{＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，

an1n－1n所以＋1＝2×2＝2，

an1

所以an＝n. 2－1

6．在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，

a8＝b3.

(1)求d，q的值；

(2)是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，

b的值；若不存在，请说明理由．

解析：(1)由a2＝b2，a8＝b3，

??a1＋d＝b1q，得?2

?a1＋7d＝b1q，???1＋d＝q，即?2

?1＋7d＝q，?

??d＝5，解方程组得?

?q＝6?

??d＝0，或?

?q＝1.?

(舍)

(2)由(1)知an＝1＋(n－1)·5＝5n－4，

bn＝b1qn－1＝6n－1.

由an＝logabn＋b，得5n－4＝loga6即5n－4＝nloga6＋b－loga6.

n－1

＋b，

4

??loga6＝5，

比较系数得?

?b－loga6＝－4，?

1

所以存在a＝65，b＝1，使得对一切自然数，都有an＝logabn＋b成立.

1??a＝6，5∴???b＝1.

5