2018-2019年数学高中学业水平考试模拟试卷（一）

?π??

＋3sin 2ωx＝2sin?2ωx＋??. 6??

?π??

所以f(x)＝2sin?2ωx＋??. 6??

因为函数f(x)的最小正周期为π，所以T＝答案：1

2π

2ω＝π，所以ω＝1.

三、解答题(本大题共2小题．每小题12分，满分24分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)

20．(12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－2asin C＝bsin B.

(1)求B；

(2)若A＝75°，b＝2，求a、c. 解：(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B. 故cos B＝

2

，又0°＜B＜180°，因此B＝45°. 2

(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋62＋6sin A

.故a＝b·＝＝1＋3， 4sin B2sin 60°sin Cc＝b·＝2·＝6.

sin Bsin 45°

21.(12分)如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分

第 9 页

别是AB，PC的中点．

(1)求证：MN⊥CD；

(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD. 证明：(1)如图，连接AC，AN，BN， 因为PA⊥平面ABCD，

所以PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点， 1

所以AN＝PC.因为PA⊥平面ABCD，

2所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，

从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，

1

所以BN＝PC.所以AN＝BN，所以△ABN为等腰三角形，又M

2为底边的中点，所以MN⊥AB，又因为AB∥CD，所以MN⊥CD.

(2)连结PM、MC，因为∠PDA＝45°，PA⊥AD，所以AP＝AD. 因为四边形ABCD为矩形，所以AD＝BC，所以PA＝BC. 又因为M为AB中点，所以AM＝BM.而∠PAM＝∠CBM＝ 90°，所以PM＝CM.

又N为PC的中点，所以MN⊥PC.

由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD.

第 10 页

第 11 页