2018届高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性教师用书理201710142221

(3)若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又有f(－3)＝0，则xf(x)＜0的解集是________。

【解析】 (1)由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，

f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，

所以f(3)－f(4)＝－1。故选A。 (2)因为f(x＋2)＝

1

fx，

1x＋

＝f(x)，

所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝

f所以f(x)为周期函数，且周期为4， 又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，

所以f(119)＝f(29×4＋3)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝f(1)， 又因为f(－1＋2)＝

f1－

，

所以f(1)·f(－1)＝1 即f(1)＝1，因为f(x)＞0， 所以f(1)＝1，所以f(119)＝1。

(3)由题意可得，函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，且f(－3)＝－f(3)＝0，函数的单调性示意图如图所示，由不等式xf(x)＜0可得，x与f(x)的符号相反，结合函数f(x)的图象可得，不等式的解集为(－3,0)∪(0,3)。

2

【答案】 (1)A (2)1 (3)(－3,0)∪(0,3)

微考场 新提升

1．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－2)＝( )

- 9 -

1A．－

2C．2

1B. 2D．－2

1

解析 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log22＝。故选B。

2答案 B

2．函数f(x)＝lg|sinx|是( ) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数

解析 ∵f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sinx|， ∴函数f(x)为偶函数。

∵f(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sinx|， ∴函数f(x)的周期为π。故选C。 答案 C

3．(2016·深圳一调)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝

f(x－1)，若f(3)＝2，则f(2 015)的值为( )

A．2 C．－2

解析 ∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数， 且g(x)＝f(x－1)，

∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)。 即f(x＋1)＝－f(x－1)。 ∴f(x＋2)＝－f(x)。

∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)。 ∴函数f(x)是周期函数，且周期为4。 ∴f(2 015)＝f(3)＝2。故选A。 答案 A

4．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________。 解析 ∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，－x>0，

B．0 D．±2

f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，

即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1。

- 10 -

答案 －－x－1

5．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f??1?2???＋f(1)＋f??3?2???＋f(2)＋f??5?2???

＝________。

解析 依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，

∴f??1?2???＋f(1)＋f??3?2???＋f(2)＋f??5?2???

＝f??1?2???＋f(1)＋f??1?－2???＋f(0)＋f??1?2??? ＝f??1?2???＋f(1)－f??1?2???＋f(0)＋f??1?2??? ＝f??1?2???

＋f(1)＋f(0) ＝212－1＋21－1＋20

－1 ＝2。 答案

2

- 11 -