2018届高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性教师用书理201710142221

微考点 大课堂

考点一 【典例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝1－x＋x－1； (2)f(x)＝3－3； 4－x(3)f(x)＝；

|x＋3|－3(4)f(x)＝(x－1) 1＋x，x∈(－1,1)。 1－x2

22

2

函数奇偶性的判断 x－x??x－1≥0，

【解析】 (1)因为由?2

?1－x≥0，?

得x＝±1，

所以f(x)的定义域为{－1,1}。

又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0， 即f(x)＝±f(－x)。

所以f(x)既是奇函数又是偶函数； (2)因为f(x)的定义域为R，

所以f(－x)＝3－3＝－(3－3)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数；

??4－x≥0，

(3)因为由?

?|x＋3|－3≠0，?

2－xxx－x

得－2≤x≤2且x≠0。

所以f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]， 4－x所以f(x)＝＝|x＋3|－3

2

4－x4－x＝，

x＋－3x22

所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数； (4)已知f(x)的定义域为(－1,1)， 其定义域关于原点对称。 因为f(x)＝(x－1) 所以f(－x)＝－1＋x＝－1－x＋x－x＋x，

－x＝f(x)。

即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数。

- 5 -

【答案】 (1)既是奇函数又是偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 (4)偶函数

反思归纳 判断函数的奇偶性要注意两点：

1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提。

2．判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立。

【变式训练】 (2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A．y＝x＋e 1xC．y＝2＋x

2

xx1

B．y＝x＋

xD．y＝1＋x

2【解析】 函数y＝x＋e的定义域为R，关于原点对称，因为f(1)＝1＋e，f(－1)＝－111x＋，所以函数y＝x＋e既不是奇函数，也不是偶函数；函数y＝x＋的定义域为{x|x≠0}，ex11?1?关于原点对称，因为f(－x)＝－x－＝－?x＋?＝－f(x)，所以函数y＝x＋是奇函数；

x?x?

x111x－xx函数f(x)＝2＋x的定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝2＋－x＝x＋2＝f(x)，

2221x2

所以函数f(x)＝2＋x是偶函数；函数y＝1＋x的定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)

2＝1＋－x2

＝1＋x＝f(x)，所以函数y＝1＋x是偶函数。故选A。

22

【答案】 A 考点二 函数周期性的应用…………母题发散 【典例2】 设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝________。

【解析】 ∵f(x＋2)＝f(x)， ∴函数f(x)的周期T＝2。

又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x，所以f(0)＝0，f(1)＝1， 所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 016)＝0，

2

2

f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 015)＝1。

故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1 008。 【答案】 1 008

【母题变式】 1.若将“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝－f(x)”，则结论如何？ 【解析】 ∵f(x＋1)＝－f(x)，

∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)。 故函数f(x)的周期为2。

- 6 -

由本典例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1 008。 【答案】 1 008

2．若将“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝【解析】 ∵f(x＋1)＝

1

， 1x＋

＝f(x)。

1

fx”，则结论如何？

fxf∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝故函数f(x)的周期为2。

由本典例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1 008。 【答案】 1 008 反思归纳

1．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为

T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题。

2．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。

【拓展变式】 (2016·四川高考)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当

?5?x0

?2?

【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0。又f(x)＝－f(－x)，f(x＋2)＝f(x)，所以f(x＋1)＝f(x－1)＝－f(1－x)，令x＝0，得f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝1??1?1?5???5?0。f?－?＝f?－2－?＝f?－?＝－f＝－2，所以f?－?＋f(1)＝－2。 2??2?2?2???2?

【答案】 －2 考点三 角度一：函数单调性与奇偶性的结合 1?1?【典例3】 定义在R上的偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上递减，且f??＝0，则满足f(log

4?2?

函数性质的综合应用……多维探究 x)<0的x的集合为( )

1??A.?－∞，?∪(2，＋∞)

2??

?1?B.?，1?∪(1,2)

?2?

?1?D.?，1?∪(2，＋∞) ?2?

?1?C.?0，?∪(2，＋∞) ?2?

11?1?【解析】 由题意可得f(logx)＝f(|logx|)<0＝f??，又f(x)在[0，＋∞)上递减，所44?2?11111111

以|logx|>，即logx>或logx<－，解得02，所以满足不等式f(logx)<0的x42424224

- 7 -

?1?的集合为?0，?∪(2，＋∞)。故选C。 ?2?

【答案】 C

角度二：函数奇偶性与周期性的结合

【典例4】 (2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R。当x<0时，f(x)＝x－1；1?1??1?当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f?x＋?＝f?x－?。则f(6)＝( ) 2?2??2?

A．－2 C．0

B．－1 D．2

3

1

【解析】 由题意可知，当－1≤x≤1时，f(x)为奇函数，且当x>时，f(x＋1)＝f(x)，

2所以f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)。而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)－1]＝2，所以f(6)＝2。故选D。

【答案】 D

角度三：已知函数奇偶性求参数值

【典例5】 (2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x)为偶函数，则a＝________。 【解析】 解法一：因为y＝x是奇函数，要使f(x)为偶函数，只需g(x)＝ln(x＋a＋x)为奇函数，则有g(0)＝lna＝0，解得a＝1。

解法二：由题意知y＝ln(x＋a＋x)是奇函数，所以ln(x＋a＋x)＋ln(－x＋a＋x)＝ln(a＋x－x)＝lna＝0，解得a＝1。

【答案】 1

反思归纳 函数奇偶性的问题类型及解题思路

1．函数单调性与奇偶性结合。注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性。

2．周期性与奇偶性结合。此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。

3．已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，利用f(x)±f(－

2

2

222223

x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解。

【变式训练】 (1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于( )

A．－1 C．－2

B．1 D．2

(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)·f(x)＝1对于x∈R恒成立，且f(x)＞0，则

f(119)＝________。

- 8 -