2018年北京各区一模文科数学分类汇编---函数与导数

函数g(x)?e?0，无零点 ………11分

2. 当1?a?0，即a??1时，g?(x)?0，函数g(x)?e?(1?a)x在定义域上单调递增，g(0)?1?0，

11g()?e1?a?1?0 1?axx故函数g(x)有一个零点. ………12分 3. 当1?a?0，即a??1时，g?(x)?0，此时，x?ln(1?a)

x ???,ln(1?a)? — ↘ ln?1?a?ln(1?a) 0 最小 ?ln(1?a),??? + ↗ g?(x) g(x) g??ln?1?a????e??1?a?ln?1?a??(1?a)?1?ln(1?a)?

由题可知，当g?ln(1?a)??0时，函数g(x)有一个零点.

∵1?a?0，故1?ln(1?a)?0，即a?e?1 ………13分 综上，当a??1，或a?e?1时，函数g(x)有一个函数零点. ………14分

5.（东城）已知函数f(x)?xsinx?acosx?x，a?R.

（Ⅰ）当a??1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）当a=2时，求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值；

（Ⅲ）当a?2时，若方程f(x)?3?0在区间[0,]上有唯一解，求a的取值范围. 解：（Ⅰ）当a??1时，f(x)?xsinx?cosx?x，

所以f'(x)?2sinx?xcosx?1，f'(0)?1. 又因为f(0)??1，

所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?x?1. ………4分 （Ⅱ）当a?2时，f(x)?xsinx?2cosx?x，

?2?2所以f'(x)??sinx?xcosx?1．

当x?(0,)时，1?sinx?0，xcosx?0， 所以f'(x)?0.

?2?2??因此f(x)在区间[0,]上的最大值为f()??，最小值为f(0)?2.………8分

22所以f(x)在区间[0,]上单调递增．

（Ⅲ）当a?2时，f'(x)?(1?a)sinx?xcosx?1.

设h(x)?(1?a)sinx?xcosx?1，

h'(x)?(2?a)cosx?xsinx，

因为a?2，x?[0,], 所以h'(x)?0.

所以h(x)在区间[0,]上单调递减．

因为h(0)?1?0，h()?1?a?1?2?a?0，

所以存在唯一的x0?[0,]，使h(x0)?0，即f'(x0)?0. 所以f(x)在区间[0,x0]上单调递增，在区间[x0，]上单调递减． 因为f(0)=a，f()??，

又因为方程f(x)?3?0在区间[0,]上有唯一解，

所以2?a?3. ………13分

6.(房山)已知函数f(x)?(2x?1)lnx?（Ⅰ）求l的方程； （Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）设g(x)?f'(x)?x?a，若关于x的不等式g(x)?0有解，求实数a的取值范围． 解：（Ⅰ）f'(x)?2lnx??2?2?2?2?2?2?212x?2x，l为曲线C:y?f(x)在点(1,f(1))处的切线． 21?x. x 所以f(1)??55，切点为(1,?). 225 ………………… 5分 2f'(1)?0

所以L的方程为y??（Ⅱ）定义域为xx?0?

?1?x x1设g(x)?2lnx??x

xf'(x)?2lnx??x?1?g'(x)??x22?0恒成立

所以g(x)在?0,???上是减函数，且g(1)?0 则当x??0,1?时g(x)?0，即f'(x)?0 则当x??1,???时g(x)?0，即f'(x)?0

所以f(x)的单调递增区间为?0,1?，f(x)的单调递减区间?1,???.

………………… 9分

（Ⅲ）因为g(x)?2lnx? g(x)?'1?a x212x?1?2?2 xxx1??1?''g(x)?0g(x)?0 x?,??时 ，当时???2??2? 当x??0,??1?2?a?2?2ln2?a 2 所以若关于x的不等式g(x)?0有解，则2?2ln2?a?0，即a?2?2ln2

所以g(x)在?0,???上的最小值为g()=2ln12 ………………… 13分 7.（丰台）已知函数f(x)?（Ⅰ）当a?1?alnx(a?R)． xe1时，求曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程； e（Ⅱ）若函数f(x)在定义域内不单调，求a的取值范围．

函数f(x)的定义域为(0,??)， ……………………1分

1aaex?x导函数f?(x)??x??． ……………………3分

exxex1111时，因为f?(1)????0，f(1)?， ……………………5分 eeee1 所以曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y?． ……………………6分

e（Ⅰ）当a?aex?x （Ⅱ）f?(x)?(x?0)，

xex设函数f(x)在定义域内不单调时，a的取值范围是集合A； ……………………7分 ．．．．函数f(x)在定义域内单调时，a的取值范围是集合B，则A?eRB． ．．．

所以函数f(x)在定义域内单调，等价于f?(x)?0恒成立，或f?(x)?0恒成立， ．．即aex?x?0恒成立，或aex?x?0恒成立，

xx恒成立或恒成立． ……………………8分 a?exexx1?x令g(x)?x(x?0)，则g?(x)?x， ……………………9分

ee等价于a?由g?(x)?0得 0?x?1，所以g(x)在(0,1)上单调递增； ……………………10分 由g?(x)?0得 x?1，所以g(x)在(1,??)上单调递减． ……………………11分 因为g(0)?0，g(1)?1，且x?0时，g(x)?0， e所以g(x)?(0，]． ……………………12分 所以B?{a|a?0,或a?}，

所以A?{a|0?a?}． ……………………13

8.（海淀）已知函数f(x)?esinx?ax．

（Ⅰ）当a?0时，求曲线y?f(x)在(0,f(0))处的切线方程；

x1e1e1e3π]上的单调性，并说明理由； 43π（Ⅲ）当a?1时，求证：?x?[0,]，都有f(x)?0．

4x解：（Ⅰ）当a?0时，f(x)?esinx,

f'(x)?ex(sinx?cosx)，x?R. .…………………….…1分

（Ⅱ）当a?0时，判断f(x)在[0,