2016~2017上海金山区初三数学九年级期末试题及答案

AC的长．

小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．

请回答：∠ACE的度数为 75° ，AC的长为 3 ． 参考小腾思考问题的方法，解决问题：

如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形． 【分析】根据相似的三角形的判定与性质，可得

=2，根据等腰三角

形的判定，可得AE=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案．

【解答】解：∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180°﹣75°﹣30°=75°， ∠E=75°，BD=2DC， ∴AD=2DE， AE=AD+DE=3， ∴AC=AE=3，

∠ACE=75°，AC的长为3． 过点D作DF⊥AC于点F． ∵∠BAC=90°=∠DFA， ∴AB∥DF， ∴△ABE∽△FDE， ∴

=2，

∴EF=1，AB=2DF．

在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，

∴∠ACD=75°，AC=AD． ∵DF⊥AC， ∴∠AFD=90°，

在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°， ∴DF=AFtan30°=∴AC=AD=2∴BC=

，AD=2DF=2

．

．

，AB=2DF=2=2

．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理．

23．（11分）（2016秋?唐河县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点P（t，0）在x轴上，B是线段PA的中点．将线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC，连结OB、BC． （1）判断△PBC的形状，并简要说明理由；

（2）当t＞0时，试问：以P、O、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出相应的t的值？若不能，请说明理由； （3）当t为何值时，△AOP与△APC相似？

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）根据旋转的现在得出PB=PC，再根据B是线段PA的中点，得出∠BPC=90°，从而得出△PBC是等腰直角三角形．

（2）根据∠OBP=∠BPC=90°，得出OB∥PC，再根据B是PA的中点，得出四边形POBC是平行四边形，当OB⊥BP时，得出OP2=2OB2，即t2=2（t2+1），求出符合题意的t的值，即可得出答案；

（3）根据题意得出∠AOP=∠APC=90°，再分两种情况讨论，当=

=

=时和

=时，得出△AOP∽△APC和△AOP∽△CPA，分别求出t的值即可．

【解答】解：（1）△PBC是等腰直角三角形，理由如下： ∵线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC， ∴PB=PC，

∵B是线段PA的中点， ∴∠BPC=90°，

∴△PBC是等腰直角三角形．

（2）当OB⊥BP时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形． ∵∠OBP=∠BPC=90°， ∴OB∥PC， ∵B是PA的中点， ∴OB=AP=BP=PC，

∴四边形POBC是平行四边形， 当OB⊥BP时，有OP=∴t2=2（t2+1），

∴t1=2，t2=﹣2（不合题意），

∴当t=2时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形．

OB，即OP2=2OB2，

（3）由题意可知，∠AOP=∠APC=90°， 当

=

=时，

△AOP∽△APC， 此时OP=OA=1，

∴t=±1， 当

=

=时，

△AOP∽△CPA， 此时OP=2OA=4， ∴t=±4，

∴当t=±1或±4时，△AOP与△CPA相似．

【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是旋转的性质、平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，注意分情况讨论，不要漏解．